Khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}x} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x +

Câu hỏi số 379855:

Vận dụng

Khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}x} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_9}{x^9} + {a_{10}}{x^{10}}\). Tìm hệ số \({a_k}\,\,\left( {0 \le k \le 10;\,\,k \in \mathbb{N}} \right)\) lớn nhất trong khai triển trên.

A. \(\dfrac{{{2^7}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^7\)

B. \(1 + \dfrac{{{2^7}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^7\)

C. \(\dfrac{{{2^6}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^6\)

D. \(\dfrac{{{2^8}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^8\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:379855

Phương pháp giải

Tìm số hạng tổng quát trong khai triển, đánh giá tìm số hạng lớn nhất.

Giải chi tiết

SHTQ : \({T_{k + 1}} = C_{10}^k.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{10 - k}}.{\left( {\dfrac{2}{3}x} \right)^{10 - k}}\)\( = C_{10}^k.\dfrac{1}{{{3^{10 - k}}}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{3^k}}}{x^k} = \dfrac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}{x^k}\)

Hệ số của SHTQ là \(\dfrac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}\).

Ta có : \(\dfrac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}} < \dfrac{{C_{10}^{k + 1}{{.2}^{k + 1}}}}{{{3^{10}}}}\)\( \Leftrightarrow C_{10}^k{.2^k} < C_{10}^{k + 1}{.2^{k + 1}}\)\( \Leftrightarrow C_{10}^k < 2C_{10}^{k + 1}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{10!}}{{k!\left( {10 - k} \right)!}} < 2.\dfrac{{10!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {9 - k} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{10 - k}} < \dfrac{2}{{k + 1}} \Leftrightarrow k + 1 < 2\left( {10 - k} \right)\)\( \Leftrightarrow 3k < 19 \Leftrightarrow k < \dfrac{{19}}{3}\)

Do đó \(\dfrac{{C_{10}^0{{.2}^0}}}{{{3^{10}}}} < \dfrac{{C_{10}^1{{.2}^1}}}{{{3^{10}}}} < ... < \dfrac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}}\) và \(\dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > \dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > ... > \dfrac{{C_{10}^{10}{{.2}^{10}}}}{{{3^{10}}}}\)

Mà \(\dfrac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}} < \dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}\) nên hệ số lớn nhất là \(\dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.