Một cái phễu có dạng hình nón, có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh \(a = 30\,\,cm\).

Câu hỏi số 381586:

Vận dụng cao

Một cái phễu có dạng hình nón, có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh \(a = 30\,\,cm\). Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phếu bằng \(h\,\,\,\left( {0 < h < 15\sqrt 3 cm} \right)\)(hình H1). Sau đó, người ta đặt một quả bóng nhựa nội tiếp cái phễu thì thấy mực nước dâng lên vừa đúng miệng phễu( hình H2). Tính chiều cao \(h\) của cột nước lúc đầu.

A. 40,12 cm.

B. 21,36 cm.

C. 10,68 cm.

D. 42,72 cm.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381586

Phương pháp giải

- Áp dụng công thức tính thể tích mặt cầu và hình chóp.

- Sử dụng định lí Ta-lét.

Giải chi tiết

Vì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều cạnh 30cm.

\( \Rightarrow R = 15cm;\,\,h = 15\sqrt 3 cm\) (R là bán kính đáy của hình chóp; h là chiều cao hình chóp)

\( \Rightarrow {V_{non}} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = 1125\sqrt 3 \)

Gọi \({r_1};{h_1}\) lần lượt là bán kính mặt cầu và khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến tâm mặt cầu.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{{r_1}}}{R} = \frac{{{h_1}}}{h} \Leftrightarrow {h_1} = {r_1}\sqrt 3 .\)

Mặt khác \({h_1} + {r_1} = h = 15\sqrt 3 \Rightarrow {r_1} = \frac{{45 - 15\sqrt 3 }}{2}\)

Gọi \({r_2};{h_2}\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của cột nước.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{{r_2}}}{R} = \frac{{{h_2}}}{h} \Leftrightarrow {h_2} = {r_2}\sqrt 3 .\)

Ta có thể tích hình nón bằng tổng thể tích cột nước và thể tích quả bóng.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{cn}} = {V_{non}} - {V_{mc}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\pi r_2^2.{h_2} = 1125\pi \sqrt 3 - \frac{4}{3}\pi r_1^3\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}.{\left( {\frac{{{h_2}\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}.{h_2} = 1125\sqrt 3 - \frac{4}{3}r_1^3\\ \Leftrightarrow {h_2} \approx 19,32\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.