Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} -

Câu hỏi số 381753:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - x + 4\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381753

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (Dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

Giải chi tiết

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 1} \right){x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - x + 4\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 3\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 1\end{array}\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Nếu \(m = 1\) thì \(f'\left( x \right) = - 1 < 0\) hay hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (thỏa mãn).

Nếu \(m = - 1\) thì \(f'\left( x \right) = - 4x - 1\), \(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x < - \dfrac{1}{4}\) nên hàm số không thể đồng biến trên \(\mathbb{R}\) (Loại).

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne - 1\end{array} \right. \Rightarrow {m^2} - 1 \ne 0\), ta có:

\(f'(x) \le 0 \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 1 \le 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 < 0\\{\Delta ^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\{(m - 1)^2} + 3({m^2} - 1) \le 0\end{array} \right.\)

Mà \(m\) là số nguyên nên \(m = 0\) thỏa mãn

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.