Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x + y = {x^2} + {y^2} + xy - 1\). Tìm GTLN và GTNN của biểu

Câu hỏi số 381760:

Vận dụng

Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x + y = {x^2} + {y^2} + xy - 1\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:\(P = x + 2y\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381760

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp miền giá trị. Chú ý: phương pháp miền giá trị trong bài này không cần tìm dấu “=” xảy ra khi nào.

Giải chi tiết

Thay \(x = P - 2y\) vào \(x + y = {x^2} + {y^2} + xy - 1\):

\(\begin{array}{l}P - 2y + y = {\left( {P - 2y} \right)^2} + {y^2} + \left( {P - 2y} \right)y - 1\\ \Leftrightarrow 3{y^2} + \left( {1 - 3P} \right)y + {P^2} - P - 1\,\,\left( * \right)\end{array}\)

\(\left( * \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {\left( {1 - 3P} \right)^2} - 4.3.\left( {{P^2} - P - 1} \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3{P^2} + 6P + 13 \ge 0 \Leftrightarrow 3{P^2} - 6P + 3 \le 16\\ \Leftrightarrow 3{\left( {P - 1} \right)^2} \le 16 \Leftrightarrow {\left( {P - 1} \right)^2} \le \dfrac{{16}}{3}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3} \le P - 1 \le \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3 - 4\sqrt 3 }}{3} \le P \le \dfrac{{3 + 4\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

Vậy GTLN và GTNN của \(P\) là \(\dfrac{{3 + 4\sqrt 3 }}{3}\) và \(\dfrac{{3 - 4\sqrt 3 }}{3}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link