Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) và \(AB > BC.\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) a) Chứng

Câu hỏi số 382133:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) và \(AB > BC.\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\)

a) Chứng minh \(\Delta ABM = \Delta ACM\) và \(AM \bot BC.\)

b) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(D,\) trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AD = AE.\) Chứng minh \(MD = ME.\)

c) Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BD.\) Trên tia đối của tia \(NM\) lấy điểm \(K\) sao cho \(NK = NM.\) Chứng minh các điểm \(K,D,E\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:382133

Phương pháp giải

- Nhớ lại kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác rồi chứng minh.

Chú ý : Hai tam giác bằng nhau có các cặp cạnh và cặp góc tương ứng bằng nhau.

- Tiên đề Ơ-clit : Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng a ta chỉ vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng a.

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(\Delta ABM = \Delta ACM\) và \(AM \bot BC.\)

Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta ACM\) có :

\(AB = AC\left( {gt} \right)\)

\(AM\) là cạnh chung

\(BM = MC\) (do \(M\) là trung điểm của \(BC\))

Vậy \(\Delta ABM = \Delta ACM\left( {c - c - c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) (cặp góc tương ứng) (1)

Mà \(M \in BC\)nên \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) (2)

Từ (1), (2) ta có : \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 2\widehat {AMB} = 180^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {AMB} = \frac{{180^\circ }}{2}\)

Hay \(AM \bot BC\)

b) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(D,\) trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AD = AE.\) Chứng minh \(MD = ME.\)

Xét \(\Delta ADM\) và \(AEM\) có :

\(AD = AE\left( {gt} \right)\)

\(\widehat {DAM} = \widehat {EAM}\) (cặp góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau – câu a)

\(AM\) là cạnh chung

\( \Rightarrow \Delta DAM = \Delta EAM\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow MED = ME\) (cặp cạnh tương ứng)

c) Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BD.\) Trên tia đối của tia \(NM\) lấy điểm \(K\) sao cho \(NK = NM.\) Chứng minh các điểm \(K,D,E\) thẳng hàng.

Gọi \(DE \cap AM = \left\{ I \right\}\)

\(\Delta ADI\) và \(\Delta AEI\) có :

+ Cạnh chung\(AI\)

+ \(AD = AE\left( {gt} \right)\)

+ \(\widehat {DAI} = \widehat {EAI}\) (chứng minh ở câu a)

\( \Rightarrow \Delta ADI = \Delta AEI\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {DIA} = \widehat {EIA}\) (cặp góc tương ứng)

Mà \(\widehat {DIA} + \widehat {EIA} = 180^\circ \) nên \(\widehat {DIA} = \widehat {EIA} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) hay \(DE \bot AM\)

Mặt khác \(BC \bot AM\)

Suy ra : \(DE//BC\) (3)

Nối \(KD\)

Xét \(\Delta KDN\) và \(\Delta MBN\) có :

+ \(ND = NB\) (\(N\) là trung điểm của \(BD\))

+ \(\widehat {KND} = \widehat {MNB}\) (đối đỉnh)

+ \(NK = NM\) (cách vẽ)

\( \Rightarrow \Delta KDN = \Delta MBN\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {DKN} = \widehat {BMN}\) (cặp góc tương ứng)

Hay \(KD//BM\) (có cặp góc so le trong bằng nhau)

Mà \(M \in BC\) nên \(KD//BC.\) (4)

Từ (3), (4) suy ra \(K,D,E\) cùng nằm trên một đường thẳng song song với \(BC\) hay \(K,D,E\) thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link