Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để phương trình \(4\sqrt {x - 2} + {m^2}\sqrt {x + 2} =

Câu hỏi số 382882:

Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để phương trình \(4\sqrt {x - 2} + {m^2}\sqrt {x + 2} = 5\sqrt[4]{{{x^2} - 4}}\) có nghiệm.

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(1\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:382882

Phương pháp giải

Giải phương trình bằng cách chia cả 2 vế cho \(\sqrt[4]{{x - 2}}\sqrt[4]{{x + 2}}\).

Giải chi tiết

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ge - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x \ge 2\) \( \Rightarrow D = \left[ {2; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4\sqrt {x - 2} + {m^2}\sqrt {x + 2} = 5\sqrt[4]{{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow 4\sqrt {x - 2} + {m^2}\sqrt {x + 2} = 5\sqrt[4]{{x - 2}}\sqrt[4]{{x + 2}}\end{array}\)

TH1: \(x = 2\), phương trình trở thành: \(2{m^2} = 0 \Leftrightarrow m = 0\).

Thử lại với \(m = 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}4\sqrt {x - 2} = 5\sqrt[4]{{x - 2}}\sqrt[4]{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \sqrt[4]{{x - 2}}\left( {4\sqrt[4]{{x - 2}} - 5\sqrt[4]{{x + 2}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {tm} \right)\\4\sqrt[4]{{x - 2}} - 5\sqrt[4]{{x + 2}} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó phương trình có nghiệm \(x = 2\), suy ra \(m = 0\) thỏa mãn.

TH2: \(x \ne 2\), chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt[4]{{x - 2}}\sqrt[4]{{x + 2}}\) ta được: \(4\frac{{\sqrt[4]{{x - 2}}}}{{\sqrt[4]{{x + 2}}}} + {m^2}\frac{{\sqrt[4]{{x + 2}}}}{{\sqrt[4]{{x - 2}}}} = 5\)

Đặt \(\frac{{\sqrt[4]{{x - 2}}}}{{\sqrt[4]{{x + 2}}}} = t\,\,\left( {0 < t < 1} \right)\), phương trình trở thành \(4t + \frac{{{m^2}}}{t} = 5\)\( \Leftrightarrow 4{t^2} - 5t + {m^2} = 0\) (*)

Phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta = 25 - 16{m^2} \ge 0 \Leftrightarrow - \frac{5}{4} \le m \le \frac{5}{4}\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

Thử lại:

Với \(m = \pm 1\) ta có: \(4{t^2} - 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\sqrt[4]{{x - 2}}}}{{\sqrt[4]{{x + 2}}}} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt[4]{{x - 2}} = \sqrt[4]{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow 16\left( {x - 2} \right) = x + 2\\ \Leftrightarrow 16x - 32 = x + 2\\ \Leftrightarrow 15x = 34\\ \Leftrightarrow x = \frac{{34}}{{15}}\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow m = \pm 1\) thỏa mãn.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

Đáp án B.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10