Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {m;\,\,n} \right)\) thỏa mãn phương trình \({2^m}.{m^2}

Câu hỏi số 383301:

Vận dụng

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {m;\,\,n} \right)\) thỏa mãn phương trình \({2^m}.{m^2} = 9{n^2} - 12n + 19.\)

A. \(m = 1,n = 2\)

B. \(m = 1,n = 1\)

C. \(m = 2,n = 1\)

D. \(m = 2,n = 2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:383301

Phương pháp giải

Sử dụng đồng dư thức và số dư của một số chính phương khi chia cho 3.

Giải chi tiết

Ta có : \({2^m}.{m^2} = 9{n^2} - 12n + 19 \Leftrightarrow {2^m}.{m^2} = {\left( {3n - 2} \right)^2} + 15\).

Nếu \(m\)lẻ \( \Rightarrow m = 2k + 1,k \in \mathbb{N}\)

\( \Rightarrow {2^m}.{m^2} = {2.4^k}.{m^2} = {\left( {3 + 1} \right)^k}2{m^2} \equiv 2{m^2}\left( {\bmod 3} \right)\)mà \({m^2} \equiv 0;1\)\(\left( {\bmod 3} \right)\)

Nên \({2.4^k}.{m^2} \equiv 0;2\left( {\bmod 3} \right)\). Mặt khác \({\left( {3n - 2} \right)^2} + 15 \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\)

Vậy trường hợp không tìm được cặp số thỏa mãn.

Nếu \(m\) chẵn \( \Rightarrow m = 2k,k \in \mathbb{N}*\) thì ta có phương trình:

\({2^{2k}}.{m^2} - {\left( {3n - 2} \right)^2} = 15 \Leftrightarrow \left( {{2^k}.m + 3n - 2} \right)\left( {{2^k}.m - 3n + 2} \right) = 15\left( * \right)\)

Vì \(m,n \in \mathbb{N}*\)nên \({2^k}.m + 3n - 2 > {2^k}.m - 3n + 2\)và \({2^k}.m + 3n - 2 > 0\)\( \Rightarrow {2^k}.m - 3n + 2 > 0\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^k}.m + 3n - 2 = 15\\{2^k}.m - 3n + 2 = 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left[ \begin{array}{l}{2^k}.m + 3n - 2 = 5\\{2^k}.m - 3n + 2 = 3\end{array} \right.\)

TH1: \(\left[ \begin{array}{l}{2^k}.m + 3n - 2 = 15\\{2^k}.m - 3n + 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^k}.2k = 8\\n = 3\end{array} \right.\) (vô nghiệm)

TH2: \(\left[ \begin{array}{l}{2^k}.m + 3n - 2 = 5\\{2^k}.m - 3n + 2 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^k}.2k = 4\\n = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\n = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array} \right.\)

Vậy cặp số thỏa mãn đề bài là \(m = 2,n = 1\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link