Cho các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a + b \ge 2.\) Chứng minh rằng phương trình \(a{x^2} + bx - 2a +

Câu hỏi số 383300:

Vận dụng

Cho các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a + b \ge 2.\) Chứng minh rằng phương trình \(a{x^2} + bx - 2a + 2 = 0\) luôn có nghiệm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:383300

Phương pháp giải

Chia trường hợp phương trình là phương trình bậc nhất và bậc hai sau đó biện luận phương trình.

Giải chi tiết

\(a{x^2} + bx - 2a + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Nếu \(a = 0\) thì \(b \ge 2\) và do đó phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow bx + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{2}{b}.\)

Nếu \(a \ne 0\) thì \(\left( * \right)\) có \(\Delta = {b^2} + 8a\left( {a - 1} \right)\):

+) Nếu \(\left[ \begin{array}{l}a < 0\\a \ge 1\end{array} \right. \Rightarrow a\left( {a - 1} \right) \ge 0 \Rightarrow \Delta \ge 0\) nên phương trình có nghiệm .

+) Nếu \(0 < a < 1\) thì: \(a + b \ge 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow b \ge 2 - a > 0 \Rightarrow {b^2} \ge {\left( {2 - a} \right)^2}\\ \Rightarrow \Delta \ge {\left( {2 - a} \right)^2} + 8a\left( {a - 1} \right) = {\left( {3a - 2} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

Nên phương trình có nghiệm.

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi số thực \(a,b\) thỏa mãn \(a + b \ge 2\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link