Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^2 - 4C_n^1 - 11 = 0\). Hệ số của số hạng chứa

Câu hỏi số 383489:

Vận dụng

Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^2 - 4C_n^1 - 11 = 0\). Hệ số của số hạng chứa \({x^9}\) trong khai triển nhị thức Niu-tơn của hàm số \({\left( {{x^4} - \dfrac{2}{{{x^3}}}} \right)^n}\left( {x \ne 0} \right)\) bằng:

A. \(29568\)

B. \(-14784.\)

C. \(-1774080.\)

D. \(14784.\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:383489

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tổ hợp và nhị thức Niu-tơn.

Giải chi tiết

Ta có: \(C_n^2 - 4C_n^1 - 11 = 0\,\,\left( {n \ge 2,\,\,n \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} - 4n - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 8n - 22 = 0\) \( \Leftrightarrow {n^2} - 9n - 22 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 11\,\,\left( {tm} \right)\\n = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Khi đó \(P = {\left( {{x^4} - \dfrac{2}{{{x^3}}}} \right)^n} = {\left( {{x^4} - \dfrac{2}{{{x^3}}}} \right)^{11}}\).

\( \Rightarrow P = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{{\left( {{x^4}} \right)}^{11 - k}}.\dfrac{{{{\left( { - 2} \right)}^k}}}{{{x^{3k}}}}} \)\( = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k.{{\left( { - 2} \right)}^k}.{x^{44 - 7k}}} \) \(\left( {0 \le k \le 11,\,\,k \in \mathbb{N}} \right).\)

Hệ số của \({x^9}\) ứng với \(44 - 7k = 9 \Leftrightarrow k = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy hệ số của \({x^9}\) trong khai triển trên là \(C_{11}^5.{\left( { - 2} \right)^5} = - 14784.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.