Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình

Câu hỏi số 384363:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Phương trình \(2{x^3} - 4{x^2} + 3x - 1 = 2{x^3}\left[ {2 - f\left( x \right)} \right]\sqrt {3 - 2f\left( x \right)} \) có bao nhiêu nghiệm?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384363

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2{x^3} - 4{x^2} + 3x - 1 = 2{x^3}\left[ {2 - f\left( x \right)} \right]\sqrt {3 - 2f\left( x \right)} \\ \Leftrightarrow 2 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{{x^3}}} = \left[ {4 - 2f\left( x \right)} \right]\sqrt {3 - 2f\left( x \right)} \\ \Leftrightarrow {\left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right)^3} + \left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right) = {\sqrt {3 - 2f\left( x \right)} ^3} + \sqrt {3 - 2f\left( x \right)} \end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\) \(\left( {t \ge 0} \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \ge 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó ta có: \(1 - \dfrac{1}{x} = \sqrt {3 - 2f\left( x \right)} \) \( \Leftrightarrow {\left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right)^2} = 3 - 2f\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow 2f\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{x} + 2\) (*).

Đặt \(g\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{x} + 2\) ta có \(g'\left( x \right) = \dfrac{2}{{{x^3}}} - \dfrac{2}{{{x^2}}} = - \dfrac{2}{{{x^2}}}\left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right)\).

Do \(1 - \dfrac{1}{x} \ge 0 \Leftrightarrow - \dfrac{2}{{{x^2}}}\left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right) \le 0\).

Do đó hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( { - \infty ;0} \right)\), 1 nghiệm thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Dễ thấy \(2f\left( 1 \right) = 2.\dfrac{3}{2} = 3\), \(g\left( 1 \right) = 3\) \( \Rightarrow \) \(x = 1\) là nghiệm duy nhất thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\) của phương trình (*).

\(2f\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 2.\left( { - 3} \right) = - 6\), \(g\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right) = - 6 \Rightarrow x = - \dfrac{1}{2}\) là nghiệm duy nhất thuộc \(\left( { - \infty ;0} \right)\) của phương trình (*).

Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm \(x = 1,\,\,x = - \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.