Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{a}{{a + 1}} + \dfrac{b}{{b + 1}} + \dfrac{c}{{c + 1}} =

Câu hỏi số 384855:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{a}{{a + 1}} + \dfrac{b}{{b + 1}} + \dfrac{c}{{c + 1}} = 2\). Chứng minh rằng \(ab + bc + ca \ge 12\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384855

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp giả thiết ta có

\(\dfrac{a}{{a + 1}} = 1 - \dfrac{b}{{b + 1}} + 1 - \dfrac{c}{{c + 1}} = \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)} }}\)

Tương tự ta có: \(\dfrac{b}{{b + 1}} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {c + 1} \right)} }}\) và\(\dfrac{c}{{c + 1}} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} }}\)

Khi đó ta được

\(\dfrac{{ab}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}} \ge \dfrac{4}{{\left( {c + 1} \right)\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} }}\)\( \Rightarrow ab \ge \dfrac{{4\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}}{{\left( {c + 1} \right)\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} }} = \dfrac{{4\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} }}{{c + 1}}\)

Tương tự ta có: \(bc \ge \dfrac{{4\sqrt {\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)} }}{{a + 1}}\) và\(ac \ge \dfrac{{4\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {c + 1} \right)} }}{{b + 1}}\).

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

\(ab + bc + ca \ge \dfrac{{4\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} }}{{c + 1}} + \dfrac{{4\sqrt {\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)} }}{{a + 1}} + \dfrac{{4\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {c + 1} \right)} }}{{b + 1}}\)

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có

\(\dfrac{{\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} }}{{c + 1}} + \dfrac{{\sqrt {\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)} }}{{a + 1}} + \dfrac{{\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {c + 1} \right)} }}{{b + 1}}\)\( \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} }}{{c + 1}}.\dfrac{{\sqrt {\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)} }}{{a + 1}}.\dfrac{{\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {c + 1} \right)} }}{{b + 1}}}} = 3\)

Suy ra \(ab + bc + ca \ge 12\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link