Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng \(\left( {0; +

Câu hỏi số 386237:

Vận dụng cao

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và có \(f\left( 3 \right) = \dfrac{2}{3}\), \(f'\left( x \right) = \sqrt {\left( {x + 1} \right)f\left( x \right)} \). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(2618 < {f^2}\left( 8 \right) < 2619\)

B. \(2614 < {f^2}\left( 8 \right) < 2615\)

C. \(2616 < {f^2}\left( 8 \right) < 2617\)

D. \(2613 < {f^2}\left( 8 \right) < 2614\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386237

Phương pháp giải

Biến đổi rồi lấy tích phân 2 vế.

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = \sqrt {\left( {x + 1} \right)f\left( x \right)} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }} = \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{2}\)

Lấy tích phân từ 3 đến 8 của hai vế ta được:

\(\int\limits_3^8 {\dfrac{{f'\left( x \right)dx}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }}} = \int\limits_3^8 {\dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{2}dx} \)\( \Leftrightarrow \left. {\sqrt {f\left( x \right)} } \right|_3^8 = \dfrac{{19}}{3}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {f\left( 8 \right)} - \sqrt {f\left( 3 \right)} = \dfrac{{19}}{3}\)\( \Leftrightarrow \sqrt {f\left( 8 \right)} - \sqrt {\dfrac{2}{3}} = \dfrac{{19}}{3}\)

\( \Leftrightarrow f\left( 8 \right) = {\left( {\dfrac{{19}}{3} + \sqrt {\dfrac{2}{3}} } \right)^2} \Leftrightarrow {f^2}\left( 8 \right) = {\left( {\dfrac{{19}}{3} + \sqrt {\dfrac{2}{3}} } \right)^4} \approx 2613,261\)

Vậy \(2613 < {f^2}\left( 8 \right) < 2614\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.