Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = BC = a\sqrt 3 \), \(\angle
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = BC = a\sqrt 3 \), \(\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\) và khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(a\sqrt 2 \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) theo \(a\) ?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi \(I\) là trung điểm của \(SB\).
\(\Delta SAB,\,\,\Delta SCB\) vuông tại \(A\) và \(C\) nên \(IA = IC = \dfrac{1}{2}SB = IS = IB\).
\( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).
Gọi \(D\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(ABCD\). Lại có \(AB \bot BC\) nên \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC \Rightarrow AB \bot AD\\AB \bot SA\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right)\)\( \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).
\( \Rightarrow CD \bot SD \Rightarrow \Delta SCD\) vuông tại \(D\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot CD\\BC \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SCD} \right)\).
Trong \(\left( {SCD} \right)\) kẻ \(DH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot DH\\DH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {SBC} \right)\).
Ta có: \(AD\parallel BC \Rightarrow AD\parallel \left( {SBC} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = DH = a\sqrt 2 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SCD\) có:
\(\dfrac{1}{{D{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{D^2}}} + \dfrac{1}{{C{D^2}}}\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{{2{a^2}}} = \dfrac{1}{{S{D^2}}} + \dfrac{1}{{3{a^2}}}\)\( \Leftrightarrow SD = a\sqrt 6 \).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SCD\) có: \(SC = \sqrt {S{D^2} + C{D^2}} \)\( = \sqrt {6{a^2} + 3{a^2}} = 3a\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SBC\) có: \(SB = \sqrt {S{C^2} + B{C^2}} \)\( = \sqrt {9{a^2} + 3{a^2}} = 2\sqrt 3 a\).
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\) là \(R = \dfrac{1}{2}SB = a\sqrt 3 \).
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\) là \(S = 4\pi {R^2} = 12\pi {a^2}\).
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
