Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a.\) Tam giác \(SAD\) cân tại \(S\)

Câu hỏi số 386372:

Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a.\) Tam giác \(SAD\) cân tại \(S\) và mặt bên \(\left( {SAD} \right)\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp \(SABCD\) bằng \({a^3}.\) Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right).\)

A. \(\dfrac{{6a}}{{\sqrt {37} }}.\)

B. \(\dfrac{a}{{\sqrt {37} }}.\)

C. \(3a.\)

D. \(\dfrac{{3a}}{{\sqrt {37} }}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386372

Phương pháp giải

Hình chóp có thể tích \(V,\) diện tích đáy \(S\) thì chiều cao của khối chóp là: \(h = \dfrac{{3V}}{S}.\)

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(AD.\)

\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có: \(AB\parallel \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SAD} \right)\) kẻ \(HK \bot SD\,\,\left( {K \in SD} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SD\\HK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK\).

Ta có: \(SH = \dfrac{{3{V_{SABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{3{a^3}}}{{{a^2}}} = 3a\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(SHD\) vuông tại \(H\) ta có:

\(HK = \dfrac{{SH.HD}}{{\sqrt {S{H^2} + H{D^2}} }} = \dfrac{{3a.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{3a}}{{\sqrt {37} }}\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = 2HK = \dfrac{{6a}}{{\sqrt {37} }}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.