Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2R\) và điểm \(C\) thay đổi trên nửa đường tròn đó,
Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2R\) và điểm \(C\) thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt \(\angle CAB = \alpha \) và gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(AB\). Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác \(ACH\) quanh trục \(AB\) đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Tính \(AH,\,\,CH\) theo \(R\) và \(\alpha \).
- Thể tích khối nón có đường cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số.
Khi quay tam giác vuông \(ACH\) quanh trục \(AB\) ta nhận được khối nón có chiều cao \(h = AH\), bán kính đáy \(r = CH\).
Ta có \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\).
\( \Rightarrow AC = AB.\cos \alpha = 2R\cos \alpha \).
\( \Rightarrow AH = AC.\cos \alpha = 2R\cos \alpha .cos\alpha = 2Rco{s^2}\alpha \), \(CH = AC.\sin \alpha = 2R\cos \alpha \sin \alpha \).
Thể tích khối nón tạo thành là:
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {2R\cos \alpha sin\alpha } \right)^2}.2R{\cos ^2}\alpha \)
\( = \dfrac{{8\pi }}{3}{R^3}{\cos ^4}\alpha {\sin ^2}\alpha \)\( = \dfrac{{8\pi {R^3}}}{3}{\cos ^4}\alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right)\).
Đặt \(t = {\cos ^2}\alpha \), do \(0 < \alpha < {90^0}\) nên \(0 < t < 1\).
Khi đó \({\cos ^4}\alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) = {t^2}\left( {1 - t} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2}\left( {1 - t} \right) = {t^2} - {t^3}\) với \(0 < t < 1\) ta có: \(f'\left( t \right) = 2t - 3{t^2}\)
\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)
BBT:
Từ BBT suy ra \({V_{\max }} \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{3}\)
\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \dfrac{2}{3}\)\( \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \dfrac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \tan \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) (Do \(0 < \alpha < {90^0}\) nên \(\tan \alpha > 0\))
Vậy \(\alpha = \arctan \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
