Cho đa thức \(P\left( x \right)\) khác hằng 0 và thỏa mãn \(P\left( {x - 1} \right)P\left( {x + 1} \right) =

Câu hỏi số 388010:

Vận dụng

Cho đa thức \(P\left( x \right)\) khác hằng 0 và thỏa mãn \(P\left( {x - 1} \right)P\left( {x + 1} \right) = P\left( {P\left( x \right)} \right).\) Chứng minh rằng \(P\left( x \right)\) có bậc không quá 2.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:388010

Phương pháp giải

So sánh bậc của đa thức.

Giải chi tiết

Xét đa thức \(P\left( x \right) = {a_n}{x^n} + ... + {a_1}x + {a_0},\,\,{a_n} \ne 0.\) Khi đó

\(P\left( {x - 1} \right)P\left( {x + 1} \right) = \left[ {{a_n}{{\left( {x - 1} \right)}^n} + ... + {a_1}\left( {x - 1} \right) + {a_0}} \right].\left[ {{a_n}{{\left( {x + 1} \right)}^n} + ... + {a_1}\left( {x + 1} \right) + {a_0}} \right] = a_n^2{x^{2n}} + ...\)

có bậc là \(2n.\) Trong khi đó

\(P\left( {P\left( x \right)} \right) = {a_n}{\left[ {P\left( x \right)} \right]^n} + ... + {a_1}P\left( x \right) + {a_0}\)

\( = {a_n}{\left[ {{a_n}{x^n} + ... + {a_1}x + {a_0}} \right]^n} + ... + {a_1}\left( {{a_n}{x^n} + ... + {a_1}x + {a_0}} \right) + {a_0} = a_n^{n + 1}{x^{{n^2}}} + ...\) là đa thức bậ \({n^2}.\)

Do đó: \(2n = {n^2} \Leftrightarrow n = 0\) hay \(n = 2\). Vậy \(P\left( x \right)\) có bậc không quá 2.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link