Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) (\(a,b,c,d\) là các hằng số và \(a \ne 0\))

Câu hỏi số 389733:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) (\(a,b,c,d\) là các hằng số và \(a \ne 0\)) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt \(M,\,N,\,P\) và các tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M,\,N\) có hệ số góc là \( - 6\) và \(2\). Gọi \(k\) là hệ số góc của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(P\). Chọn mệnh đề đúng.

A. \(k \in \left[ {1;\,4} \right)\).

B. \(k \in \left[ { - 5;\, - 2} \right)\).

C. \(k \in \left[ { - 2;\,1} \right)\).

D. \(k \in \left[ {4;\,7} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389733

Phương pháp giải

- Phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) có 3 nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\)\( \Rightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + d = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\).

- Tính \(f'\left( {{x_1}} \right),\,\,f'\left( {{x_2}} \right);\,\,f'\left( {{x_3}} \right)\).

- Biến đổi bằng cách cộng \(f'\left( {{x_1}} \right),\,f'\left( {{x_2}} \right)\) và nhân \(f'\left( {{x_1}} \right),\,f'\left( {{x_2}} \right)\), sử dụng phương pháp thế.

Giải chi tiết

Gọi \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) lần lượt là hoành độ của các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) (\({x_1},{x_2},{x_3}\) là nghiệm của PT \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\))

\( \Rightarrow f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = a\left[ {\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)} \right]\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_1}} \right) = a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right) = - 6\\f'\left( {{x_2}} \right) = a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) = 2\\f'\left( {{x_3}} \right) = a\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right) = - \dfrac{6}{a}\\\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) = \dfrac{2}{a}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right) + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) = - \dfrac{4}{a}\\ - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) = - \dfrac{{12}}{{{a^2}}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - {x_1}{x_3} - {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + x_2^2 - {x_2}{x_3} - {x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} = - \dfrac{4}{a}\\{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) = \dfrac{{12}}{{{a^2}}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} = - \dfrac{4}{a}\\{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) = \dfrac{{12}}{{{a^2}}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = - \dfrac{4}{a}\\{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) = \dfrac{{12}}{{{a^2}}}\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \dfrac{4}{a}\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) = \dfrac{{12}}{{{a^2}}}\\ \Leftrightarrow a\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right) = - 3\end{array}\)

\( \Rightarrow f'\left( {{x_3}} \right) = - 3\).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(P\) là \(k = - 3\)\( \Rightarrow k \in \left[ { - 5;\, - 2} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.