Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm \(G\), \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) sao cho \(\overrightarrow

Câu hỏi số 389743:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm \(G\), \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) sao cho \(\overrightarrow {BH} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {HC} \). Điểm \(M\) di động trên cạnh \(BC\) sao cho \(\overrightarrow {BM} = x\overrightarrow {BC} \). Tìm \(x\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|\) nhỏ nhất.

A. \(\dfrac{6}{5}\).

B. \(\dfrac{5}{4}\).

C. \(\dfrac{5}{6}\).

D. \(\dfrac{4}{5}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389743

Phương pháp giải

- Gắn hệ trục Oxy, xác định tọa độ các điểm.

- Tính \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} \), từ đó tính \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|\), sử dụng công thức \(\overrightarrow u = \left( {x;y} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

- Đánh giá và tìm GTNN.

Giải chi tiết

Gắn hệ trục Oxy (như hình vẽ), với \(B\left( {0;0} \right),C\left( {4;0} \right),\,D\left( {2;0} \right),H\left( {1;0} \right),\,A\left( {1;a} \right)\)\( \Rightarrow G\left( {\dfrac{5}{3};\dfrac{a}{3}} \right)\), \(M\left( {4x;0} \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} = \left( {1 - 4x;a} \right),\,\overrightarrow {GC} = \left( {\dfrac{7}{3}; - \dfrac{a}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} = \left( {\dfrac{{10}}{3} - 4x;\dfrac{2}{3}a} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right| = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{10}}{3} - 4x} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{2}{3}a} \right)}^2}} \ge \sqrt {{{\left( {\dfrac{2}{3}a} \right)}^2}} = \dfrac{2}{3}a\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{10}}{3} - 4x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{6}.\)

\( \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|_{\min }} = \dfrac{2}{3}a\) khi và chỉ khi \(x = \dfrac{5}{6}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.