Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AC\,\,\,\left( {BA < BC}

Câu hỏi số 390449:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AC\,\,\,\left( {BA < BC} \right).\) Trên đoạn thẳng \(OC\) lấy điểm \(I\) bất kì \(\left( {I \ne C} \right).\) Đường thẳng \(BI\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(D.\) Kẻ \(CH\) \(CH \bot BD\,\,\,\left( {H \in D} \right),\,\,DK \bot AC\,\,\left( {K \in AC} \right).\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(DHKC\) là tứ giác nội tiếp.

b) Cho độ dài đoạn thẳng \(AC\) là \(4cm\) và \(\angle ABD = {60^0}.\) Tính diện tích \(\Delta ACD.\)

c) Đường thẳng đi qua \(K\) song song với \(BC\) cắt đường thẳng \(BD\) tại \(E.\) Chứng minh rằng khi \(I\) thay đổi trên đoạn thẳng \(OC\,\,\left( {I \ne C} \right)\) thì điểm \(E\) luôn thuộc một đường tròn cố đinh.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390449

Phương pháp giải

a) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Sử dụng các tính chất góc nội tiếp của đường tròn và công thức tính diện tích tam giác.

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác \(DHKC\) có

\(\angle DHC = 90^\circ \,\)(do \(CH \bot BD\))

\(\angle DKC = 90^\circ \) (do \(DK \bot AC\))

Suy ra \(\angle DHC = \angle DKC\left( { = 90^\circ } \right)\) nên hai đỉnh \(H;K\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(CD\) dưới các góc vuông nên tứ giác \(DHKC\) là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi \(O\) là trung điểm \(AC\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle ABD = 60^\circ \Rightarrow \angle ACD = \angle ABD = 60^\circ \) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD\))

Lại có \(\angle CDA = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) có \(AC = 4cm;\,\angle ACD = 60^\circ \) nên \(AD = AC.\sin \angle ACD = 4.\sin 60^\circ = 2\sqrt 3 \,cm\)

Và \(CD = AC.\cos \angle ACD = 4.\cos 60^\circ = 2\,cm\)

Diện tích tam giác \(ACD\) là \({S_{\Delta ACD}} = \frac{1}{2}AD.DC = \frac{1}{2}.2\sqrt 3 .2 = 2\sqrt 3 \,c{m^2}.\)

c) Vì \(EK//BC \Rightarrow \angle DEK = \angle DBC\) (1) (hai góc ở vị trí đồng vị)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle DBC = \angle DAC\) (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\))

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle DEK = \angle DAK\)

Suy ra tứ giác \(AEKD\) có hai đỉnh \(A,E\) cùng nhìn cạnh \(KD\) dưới các góc bằng nhau nên tứ giác \(AEKD\) là tứ giác nội tiếp, suy ra \(\angle AED = \angle AKD = 90^\circ \)

Do đó \(AE \bot EB\) suy ra \(\Delta AEB\) vuông tại \(E.\)

Lại có \(AB\) cố định nên \(E\) thuộc đường tròn đường kính \(AB\) cố định khi \(I\) thay đổi trên đoạn \(OC.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link