Xét các số \(x,\,\,y,\,\,z\) thay đổi thỏa mãn \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = 2.\) Tìm giá trị nhỏ

Câu hỏi số 390464:

Vận dụng cao

Xét các số \(x,\,\,y,\,\,z\) thay đổi thỏa mãn \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = 2.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \frac{1}{2}{\left( {x + y + z} \right)^2} + 4\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right).\)

A. \(Min\,\,P = 2\)

B. \(Min\,\,P = 3\)

C. \(Min\,\,P = 6\)

D. \(Min\,\,P = 4\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390464

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức bài cho, đặt \(x + y + z = t\,\,\left( {t > 0} \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số.

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có: \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right) = 2\\ \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right)} \right] = 4\\ \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] = 4\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có: \({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x,\,\,y,\,\,z\)

\( \Rightarrow x + y + z > 0.\)

Đặt \(x + y + z = t\,\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx = \frac{2}{t}.\)

\( \Rightarrow P = \frac{1}{2}{t^2} + \frac{8}{t} = \frac{{{t^2}}}{2} + \frac{4}{t} + \frac{4}{t}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\frac{{{t^2}}}{2};\,\,\frac{4}{t};\,\,\frac{4}{t}\) ta có:

\(P = \frac{{{t^2}}}{2} + \frac{4}{t} + \frac{4}{t} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{{t^2}}}{2}.\frac{4}{t}.\frac{4}{t}}} = 3.\sqrt[3]{8} = 6.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{{t^2}}}{2} = \frac{4}{t} \Leftrightarrow {t^3} = 8 \Leftrightarrow t = 2\) \( \Rightarrow x + y + z = 2.\)

Vậy \(Min\,\,P = 6\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\\{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = 2\end{array} \right..\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link