Qua điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn
Qua điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Gọi E là trung điểm của AC, F là giao điểm thứ hai của EB với đường tròn \(\left( O \right)\).
a) Chứng minh: tứ giác \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp, tam giác \(CEF\) đồng dạng với tam giác \(BEC\).
b) Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng AF với đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh \(BF.CK = BK.CF\).
c) Chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABF\).
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng các dấu hiệu nhận biết.
+) Chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.
b) Chứng minh các tam giác đồng dạng và dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh đẳng thức bài yêu cầu.
a) Chứng minh: tứ giác \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp, tam giác \(CEF\) đồng dạng với tam giác \(BEC\).
+) Chứng minh: tứ giác \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp:
Do \(AB,\,\,AC\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AB \bot OB;\,\,AC \bot OC \Rightarrow \angle OBA = \angle OCA = {90^0}\).
Xét tứ giác \(ABOC\) có: \(\angle OBA + \angle OCA = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
+) Chứng minh \(\Delta CEF \sim \Delta BEC\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:
\(\angle EOF\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(CF.\)
\(\angle FBC\) là góc nội tiếp chắn cung \(CF.\)
\( \Rightarrow \angle ECF = \angle CBF\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(CF\))
Xét \(\Delta CEF\) và \(\Delta BEC\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle E\,\,chung\\\angle ECF = \angle EBC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta CEF \sim \Delta BEC\,\,\left( {g - g} \right).\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
b) Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng AF với đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh \(BF.CK = BK.CF\).
Xét tam giác \(ABF\) và tam giác \(AKB\) có:
\(\angle BAK\,\,\,chung\)
\(\angle ABF = \angle AKB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BF\));
\( \Rightarrow \Delta ABF \sim \Delta AKB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{BF}}{{BK}} = \frac{{AF}}{{AB}}\,\,\left( 1 \right)\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
Xét tam giác \(ACF\) và tam giác \(AKC\) có:
\(\angle CAK\) chung;
\(\angle ACF = \angle AKC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(CF\));
\( \Rightarrow \Delta ACF \sim \Delta AKC\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{CF}}{{CK}} = \frac{{AF}}{{AC}}\,\,\left( 2 \right)\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
Mà \(AB = AC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{{BF}}{{BK}} = \frac{{CF}}{{CK}} \Rightarrow BF.CK = BK.CF\).
c) Chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABF\).
Xét tam giác \(ECF\) và ta giác \(EBC\) có:
\(\angle BEC\) chung;
\(\angle ECF = \angle EBC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(CF\))
\( \Rightarrow \Delta ECF \sim \Delta EBC\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{EC}}{{EB}} = \frac{{EF}}{{EC}} \Rightarrow E{C^2} = EB.EF\).
Mà \(EC = EA\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow E{A^2} = EB.EF \Rightarrow \frac{{EA}}{{EB}} = \frac{{EF}}{{EA}}\).
Xét tam giác \(BEA\) và tam giác \(AEF\) có:
\(\begin{array}{l}\frac{{EA}}{{EB}} = \frac{{EF}}{{EA}}\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle AEB\,\,\,\,chung\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta BEA \sim \Delta AEF\,\,\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \angle ABE = \angle FAE\) (hai góc tương ứng)
Mà góc \(\angle ABE\) là góc nội tiếp chắn cung \(AF\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABF\); \(\angle FAE\) ở vị trí góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AF\)).
Vậy \(AE\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABF\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
