Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 8 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) với \(m\) là tham số.

Câu hỏi số 391282:

Vận dụng cao

Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 8 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) với \(m\) là tham số. Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức: \(x_1^3 - {x_2} = 0.\)

A. \(m = - 8\)

B. \(m = 8\)

C. \(m = 4\)

D. \(m = - 4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391282

Phương pháp giải

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

Rút \({x_2} = x_1^2\) thay vào điều kiện \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\) tìm nghiệm \({x_1},{x_2}\).

Thay \({x_1},{x_2}\) tìm được ở trên vào \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\) tìm \(m\).

Giải chi tiết

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 \ne 0\\\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

Có \(\Delta {\rm{ = }}{\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {m + 8} \right) = {m^2} + 4m + 4 - 4m - 32 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 28 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 7 \\m < - 2\sqrt 7 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

\(S = - \frac{b}{a} = m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 2\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

\(P = \frac{c}{a} = m + 8 > 0 \Leftrightarrow m > - 8\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\).

Kết hợp các điều kiện (1), (2), (3) ta được \(\left[ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 7 \\ - 8 < m < 2\sqrt 7 \end{array} \right..\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}x_1^3 - {x_2} = 0 \Leftrightarrow x_1^3 = {x_2} \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = x_1^4 = m + 8 \Leftrightarrow {x_1} = \sqrt[4]{{m + 8}} \Rightarrow {x_2} = \sqrt[4]{{{{\left( {m + 8} \right)}^3}}}\\ \Rightarrow {x_1} + {x_2} = m + 2 \Leftrightarrow \sqrt[4]{{m + 8}} + \sqrt[4]{{{{\left( {m + 8} \right)}^3}}} = m + 8 - 6\end{array}\)

Đặt \(\sqrt[4]{{m + 8}} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,t + {t^3} = {t^4} - 6\\ \Leftrightarrow {t^4} - {t^3} - t - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {t^4} - 16 - \left( {{t^3} + t - 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{t^2} - 4} \right)\left( {{t^2} + 4} \right) - \left( {{t^3} - 8 + t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {t + 2} \right)\left( {{t^2} + 4} \right) - \left[ {\left( {t - 2} \right)\left( {{t^2} + 2t + 4} \right) + \left( {t - 2} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {t + 2} \right)\left( {{t^2} + 4} \right) - \left( {t - 2} \right)\left( {{t^2} + 2t + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {{t^3} + 2{t^2} + 4t + 8 - {t^2} - 2t - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {{t^3} + {t^2} + 2t + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow t = 2\,\,\left( {Do\,\,\,t \ge 0 \Rightarrow {t^3} + {t^2} + 2t + 3 > 0} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \sqrt[4]{{m + 8}} = 2 \Leftrightarrow m + 8 = {2^4} = 16 \Leftrightarrow m = 8\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(m = 8\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link