Cho phương trình:\({x^2} + ax + b + 2 = 0\) (a, b là tham số). Tìm các giá trị của tham số

Câu hỏi số 391281:

Vận dụng cao

Cho phương trình:\({x^2} + ax + b + 2 = 0\) (a, b là tham số). Tìm các giá trị của tham số \(a,\,\,b\) để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn điều kiện:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 4\\x_1^3 - x_2^3 = 28\end{array} \right..\)

A. \(\left( {a;b} \right) = \left( {2; - 5} \right)\)

B. \(\left( {a;b} \right) = \left( { - 2;\,\,5} \right)\)

C. \(\left( {a;b} \right) = \left( { - 2; - 5} \right)\)

D. \(\left( {a;b} \right) = \left( {2;\,\,\,5} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391281

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left( {\Delta > 0} \right)\).

+) Áp dụng định lí Vi-ét.

+) Sử dụng các biến đổi \(x_1^3 - x_2^3 = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^3} + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\) và \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\).

Giải chi tiết

\({x^2} + ax + b + 2 = 0\).

Ta có \(\Delta = {a^2} - 4\left( {b + 2} \right) = {a^2} - 4b - 8\).

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {a^2} - 4b - 8 > 0\) (*).

Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1}{x_2} = b + 2\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 4\\x_1^3 - x_2^3 = 28\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 4\\{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^3} + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 28\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 4\\{4^3} + 12{x_1}{x_2} = 28\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \({x_1}{x_2} = b + 2 \Rightarrow b + 2 = - 3 \Leftrightarrow b = - 3 - 2 = - 5\).

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1} - {x_2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_1} = 4 - a\\2{x_2} = - a - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{4 - a}}{2}\\{x_2} = \frac{{ - a - 4}}{2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x_1}{x_2} = - 3 \Leftrightarrow \frac{{4 - a}}{2}.\left( {\frac{{ - a - 4}}{2}} \right) = - 3\\ \Leftrightarrow \left( {4 - a} \right)\left( {a + 4} \right) = 12\\ \Leftrightarrow 16 - {a^2} = 12\\ \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = - 2\end{array} \right..\end{array}\)

Với \({a^2} = 4,\,\,b = - 5 \Rightarrow {a^2} - 4b - 8 = 4 - 4.\left( { - 5} \right) - 8 = 16 > 0 \Rightarrow \) thỏa mãn điều kiện \(\left( * \right)\).

Vậy có 2 cặp số \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\left( {a;b} \right) = \left( {2; - 5} \right)\) hoặc \(\left( {a;b} \right) = \left( { - 2; - 5} \right)\).

Chú ý khi giải

Khi tìm được cặp số \(\left( {a;b} \right)\) phải đối lại chiếu với điều kiện.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link