Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(AD = 2a\). \(\Delta SAB\) cân tại \(S\)

Câu hỏi số 391601:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(AD = 2a\). \(\Delta SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^0}\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\). Tính theo \(a\) khoảng cách \(d\) từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

A. \(d = \dfrac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}\)

B. \(d = \dfrac{{2a\sqrt {1513} }}{{89}}\)

C. \(d = \dfrac{{a\sqrt {1315} }}{{89}}\)

D. \(d = \dfrac{{2a\sqrt {1315} }}{{89}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391601

Phương pháp giải

- Chuyển tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) sang tính khoảng cách từ \(H\) đến \(\left( {SAC} \right)\).

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Vì \(\Delta SAB\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(F = AC \cap HD\), dựng \(HE \bot AC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HE\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHE} \right)\).

Trong \(\left( {SHE} \right)\) kẻ \(HK \bot SE\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SE\\HK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HK\).

Ta có: \(M\) là trung điểm của \(SC\) \( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)\)

Lại có: \(\dfrac{{DF}}{{HF}} = \dfrac{{DC}}{{HA}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HK\)

Ta có: \(\Delta AHE\) đồng dạng \(\Delta ACB\) \(\left( {g.g} \right)\).

\( \Rightarrow \dfrac{{HE}}{{BC}} = \dfrac{{AH}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{{HE}}{{2a}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} \Leftrightarrow HE = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\)

Ta có : \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(HC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {45^0}\).

\(\Delta BHC\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow HC = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} = \sqrt {4{{\rm{a}}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}\)

\(\Delta SHC\) vuông tại \(H\) \( \Rightarrow SH = HC.\tan {45^0} = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}\)

Tam giác SHE vuông tại H, HK là đường cao

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{17{{\rm{a}}^2}}}{4}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{{a^2}}}{5}}} = \dfrac{{89}}{{17{{\rm{a}}^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}\)

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = d = \dfrac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}.\)

Chọn: A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.