Cho hình chóp \(D.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(DA\) vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 391728:

Vận dụng

Cho hình chóp \(D.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(DA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết \(AB = 3a,\,\,BC = 4a,\,\,AD = 5a\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(D.ABC\) bằng:

A. \(\dfrac{{5a\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{5a\sqrt 2 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{5a\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\dfrac{{5a\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391728

Phương pháp giải

Cách tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

+) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (Vì vậy, hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi có đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

+) Dựng đường thẳng \(d\) qua tâm đường tròn ngoại tiếp và vuông góc với mặt phẳng đáy.

+) Dựng mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì.

+) Giao điểm của \(d\) và mp\(\left( \alpha \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

Giải chi tiết

Gọi \(M\) và \(I\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,DC.\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên trung điểm \(M\) của \(AC\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

\(M,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,DC\) nên \(MI\) là đường trung bình trong \(\Delta ADC\) hay \(MI\parallel AD\).

Mặt khác, theo giả thiết \(DA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow MI \bot \left( {ABC} \right)\).

Mà \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và \(MI \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(MI\) là trục của tam giác \(ABC\) hay \(IA = IB = IC\).

Vì \(DA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow DA \bot AC\)

Tam giác \(DAC\) vuông tại \(A\) nên \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác hay \(IA = ID = IC\).

Do đó, \(IA = IB = IC = ID\) hay \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(D.ABC\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow AC = 5a\).

Tam giác \(DAC\) vuông tại \(A\) nên \(CD = \sqrt {A{D^2} + A{C^2}} = 5\sqrt 2 a\).

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là \(R = IA = \dfrac{1}{2}DC = \dfrac{{5\sqrt 2 a}}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.