Cho \(f\left( x \right)\) là đa thức thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{f\left( x \right) -

Câu hỏi số 391755:

Vận dụng cao

Cho \(f\left( x \right)\) là đa thức thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{f\left( x \right) - 8}}{{x - 3}} = 6\). Tính \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 7}} - 1}}{{{x^2} - 2x - 3}}\).

A. \(L = \dfrac{3}{4}\)

B. \(L = \dfrac{3}{2}\)

C. \(L = \dfrac{1}{2}\)

D. \(L = \dfrac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391755

Phương pháp giải

- Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\).

- Biến đổi, làm mất dạng vô định để tìm giới hạn của hàm số.

Giải chi tiết

Ta thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{f\left( x \right) - 8}}{{x - 3}} = 6\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {\left( {f\left( x \right)} \right) - 8} \right] = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 8\)\( \Rightarrow f\left( 3 \right) = 8.\)

(Bởi vì nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {f\left( x \right) - 8} \right] \ne 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 3} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{f\left( x \right) - 8}}{{x - 3}} = \infty \)).

Ta có:

\(\begin{array}{l}L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 7}} - 1}}{{{x^2} - 2x - 3}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 7}} - 1} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 7}}}^2} + \sqrt[3]{{f\left( x \right) - 7}} + 1} \right)}}{{\left( {{{\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 7}}}^2} + \sqrt[3]{{f\left( x \right) - 7}} + 1} \right)}}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\dfrac{{f\left( x \right) - 8}}{{\left( {{{\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 7}}}^2} + \sqrt[3]{{f\left( x \right) - 7}} + 1} \right)}}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {\dfrac{{f\left( x \right) - 8}}{{x - 3}}.\dfrac{1}{{\left( {{{\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 7}}}^2} + \sqrt[3]{{f\left( x \right) - 7}} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]\\ = 6.\dfrac{1}{{\left( {{{\sqrt[3]{{8 - 7}}}^2} + \sqrt[3]{{8 - 7}} + 1} \right)\left( {3 + 1} \right)}} = \dfrac{6}{{3.4}} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.