Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;\,\,4} \right)\), trọng tâm

Câu hỏi số 394113:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;\,\,4} \right)\), trọng tâm \(G\left( {2;\,\,\frac{2}{3}} \right)\). Biết rằng đỉnh \(B\) nằm trên đường thẳng \(d:\,\,x + y + 2 = 0\) và đỉnh \(C\) có hình chiếu vuông góc trên \(d\) là điểm \(H\left( {2;\,\, - 4} \right)\). Giả sử \(B\left( {a;\,\,b} \right)\), giá trị của \(P = a - 3b\) là:

A. \(P = 4\)

B. \(P = - 2\)

C. \(P = 2\)

D. \(P = 0\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:394113

Phương pháp giải

+) Biểu diễn tọa độ của điểm \(B,\,\,C\) theo \(a\) hoặc \(b\).

+) \(\left. \begin{array}{l}B \in d\\HC \bot d = \left\{ H \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BH \bot HC \Leftrightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {HC} = 0\)

Giải chi tiết

+) Vì \(B\left( {a;\,\,b} \right)\) nằm trên đường thẳng \(d:\,\,x + y + 2 = 0\) nên ta có: \(a + b + 2 = 0 \Rightarrow b = - a - 2\)

\( \Rightarrow B\left( {a;\,\, - a - 2} \right)\)

+) Ta có: \(A\left( {2;\,\,4} \right),\,\,B\left( {a;\,\, - a - 2} \right),\,\,C\left( {{x_C};\,\,{y_C}} \right)\)

Vì \(G\left( {2;\,\,\frac{2}{3}} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{2 + a + {x_C}}}{3}\\\frac{2}{3} = \frac{{4 + \left( { - a - 2} \right) + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + a + {x_C} = 6\\2 - a + {y_C} = 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + {x_C} = 4\\ - a + {y_C} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4 - a\\{y_C} = a\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow C\left( {4 - a;\,\,a} \right)\)

+) \(\overrightarrow {HB} = \left( {a - 2;\,\, - a + 2} \right)\), \(\overrightarrow {HC} = \left( {2 - a;\,\,a + 4} \right)\)

Vì \(B\left( {a;\,\, - a - 2} \right) \in d\) và \(H\left( {2;\,\, - 4} \right)\) là hình chiếu của \(C\left( {4 - a;\,\,a} \right)\) lên đường thẳng \(d\), khi đó ta có:

\(\overrightarrow {HB.} \overrightarrow {HC} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\( \Rightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {2 - a} \right) + \left( { - a + 2} \right)\left( {a + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {2 - a} \right) + \left( {2 - a} \right)\left( {a + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2 - a} \right)\left[ {\left( {a - 2} \right) + \left( {a + 4} \right)} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2 - a} \right)\left( {2a + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - a = 0\\2a + 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = - 1\end{array} \right.\)

- Với \(a = 2 \Rightarrow B\left( {2;\,\, - 4} \right),\,\,C\left( {2;\,\,2} \right)\), \(A\left( {2;\,\,4} \right)\)\( \Rightarrow \) Ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng \( \Rightarrow \) Loại

- Với \(a = - 1 \Rightarrow \)\(B\left( { - 1;\,\, - 1} \right),\,\,C\left( {5;\,\, - 1} \right)\)

\( \Rightarrow P = a - 3b = \left( { - 1} \right) - 3.\left( { - 1} \right) = 2\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.