Cho \(\Delta ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( C \right)\), đường phân giác trong và ngoài của

Câu hỏi số 395213:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( C \right)\), đường phân giác trong và ngoài của \(\angle A\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) lần lượt tại \(M\left( {0;\,\, - 3} \right),\,\,N\left( { - 2;\,\,1} \right)\). Tọa độ các điểm \(B,\,\,C\) biết đường thẳng \(BC\) đi qua \(E\left( {2;\,\, - 1} \right)\) và \(C\)có hoành độ dương là

A. \(B\left( { - 2;\,\,3} \right),\,\,C\left( {\frac{6}{5};\,\, - \frac{7}{5}} \right)\)

B. \(B\left( { - 2;\,\, - 3} \right),\,\,C\left( {\frac{6}{5};\,\,\frac{7}{5}} \right)\)

C. \(B\left( {2;\,\,3} \right),\,\,C\left( { - \frac{6}{5};\,\,\frac{7}{5}} \right)\)

D. \(B\left( { - 2;\,\, - 3} \right),\,\,C\left( {\frac{6}{5};\,\, - \frac{7}{5}} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:395213

Phương pháp giải

+) \(AN \bot AM\) (t.c phân giác của hai góc kề bù) \(\Rightarrow\) đường tròn \(\left( C \right)\) sẽ có tâm \(I\left( { - 1;\,\, - 1} \right)\) là trung điểm \(MN\), bán kính \(R = \frac{{MN}}{2} = \sqrt 5 \) \( \Rightarrow \left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\)

+) Để tìm tọa độ \(B,\,\,C\) ta cần thiết lập phương trình đường thẳng \(BC\) rồi cho giao với đường tròn \(\left( C \right).\)

Giải chi tiết

Ta có \(AM,\,\,AN\) là hai đường phân giác trong và ngoài của \(\angle A \Rightarrow AM \bot AN\) (tính chất các đường phân giác của một góc).

\( \Rightarrow \angle MAN = {90^0}\) \( \Rightarrow MN\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\) ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)

\( \Rightarrow MN \bot BC.\)

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;\,\,4} \right) = - 2\left( {1; - 2} \right).\)

Đường thẳng \(BC\) qua \(E\) và nhận \(\overrightarrow {MN} \) làm VTPT có phương trình: \(x - 2 - 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 4 = 0.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow I\left( { - 1; - 1} \right)\)

Có: \(MN = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \Rightarrow IM = \frac{1}{2}MN = \sqrt 5 .\)

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\, - 1} \right)\) và đường kính \(MN\) là: \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5.\)

Khi đó tọa độ các điểm \(B,\,\,C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\\x - 2y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y + 4\\{\left( {2y + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y + 4\\5{y^2} + 22y + 21 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}y = - \frac{7}{5}\\y = - 3\end{array} \right.\\x = 2y + 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{6}{5}\\y = - \frac{7}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vì \(C\) có hoành độ dương \( \Rightarrow C\left( {\frac{6}{5}; - \frac{7}{5}} \right);\,\,\,B\left( { - 2; - 3} \right).\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.