Cho các số thực \(x,\,\,y\) thay đổi thỏa mãn \({x^2} + 2{y^2} + 2xy = 1\) và hàm số \(f\left( t \right)

Câu hỏi số 396283:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(x,\,\,y\) thay đổi thỏa mãn \({x^2} + 2{y^2} + 2xy = 1\) và hàm số \(f\left( t \right) = {t^4} - {t^2} + 2\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(Q = f\left( {\dfrac{{x + y + 1}}{{x + 2y - 2}}} \right)\). Tính \(M + m\)?

A. \(8\sqrt 3-2\)

B. \(\dfrac{{303}}{2}\)

C. \(\dfrac{{303}}{4}\)

D. \(4\sqrt 3+2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396283

Giải chi tiết

Ta có: \({x^2} + 2{y^2} + 2xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + {y^2} = 1\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \sin \alpha \\y = {\rm{cos}}\alpha \end{array} \right.\). Ta có: \(Q = f\left( {\dfrac{{x + y + 1}}{{x + 2y - 2}}} \right) = f\left( {\dfrac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}} \right)\)

Đặt \(t = \dfrac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}\). Ta có: \(Q = f\left( {\dfrac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}} \right) = f\left( t \right)\)

\(t = \dfrac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}\,\,\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow t\sin \alpha + t{\rm{cos}}\,\alpha - 2t = \sin \alpha + 1 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\sin \alpha + t\,{\rm{cos}}\,\alpha = 2t + 1\) (*)

Để phương trình (*) tồn tại nghiệm \(\alpha \) thì \({\left( {t - 1} \right)^2} + {t^2} \ge {\left( {2t + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 + {t^2} \ge 4{t^2} + 4t + 1\)\( \Leftrightarrow 2{t^2} + 6t \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le t \le 0\)

Xét \(Q = f\left( t \right) = {t^4} - {t^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 3;0} \right]\), có: \(f'\left( t \right) = 4{t^3} - 2t,\,\,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \pm \sqrt {\dfrac{1}{2}} \end{array} \right.\)

Hàm số \(f\left( t \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 3;0} \right]\), có \(f\left( { - 3} \right) = 74,\,f\left( { - \sqrt {\dfrac{1}{2}} } \right) = \dfrac{7}{4},\,f\left( 0 \right) = 2\)\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( t \right) = \dfrac{7}{4},\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( t \right) = 74\)

\( \Rightarrow \)M + m\( = \dfrac{7}{4} + 74 = \dfrac{{303}}{4}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.