Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và \(SA = SB = SC = a\), \(\angle SAB = {30^0}\),
Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và \(SA = SB = SC = a\), \(\angle SAB = {30^0}\), \(\angle SBC = {60^0}\), \(\angle SCA = {45^0}\). Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \(SD\)?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Chuyển tính khoảng cách từ hai đường thẳng chéo nhau sang tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
- Nhận dạng tam giác ABC, tìm vị trí tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác này, từ đó suy ra đường cao của hình chóp S.ABCD.
\(\begin{array}{l}S{B^2} = S{A^2} + A{B^2} - 2.SA.AB.\cos {30^0}\\ \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + A{B^2} - 2.a.AB.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow A{B^2} - AB.a\sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow AB = a\sqrt 3 \end{array}\)
\(BC = SB = SC = a\) (Tam giác SBC đều)
\(\begin{array}{l}S{A^2} = S{C^2} + A{C^2} - 2.SA.AC.\cos {45^0}\\ \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + A{C^2} - 2.a.AC.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} - AC.a\sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow AC = a\sqrt 2 \end{array}\)
\( \Rightarrow \) Tam giác ABC vuông tại C
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Rightarrow H\) là trung điểm của AB và \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Tam giác SAH vuông tại H \( \Rightarrow SH = SA.\sin \widehat {SAB} = a.\sin {30^0} = \dfrac{a}{2}\)
Kẻ \(HE \bot CD,\,HK \bot SE \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right)\). Ta có: \(AB\parallel \left( {SCD} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK\)
Ta có: \({S_{ABCD}} = 2.{S_{ABC}} = 2.\dfrac{1}{2}.BC.AC = a.a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 \)
Lại có: \({S_{ABCD}} = HE.DC = HE.AB = HE.a\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 2 \Rightarrow HE = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Tam giác SHE vuông tại H, HK là đường cao
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{3}{{2{a^2}}} = \dfrac{{11}}{{2{a^2}}}\)
\( \Rightarrow HK = \dfrac{{a\sqrt {22} }}{{11}} \Rightarrow d\left( {AB;SD} \right) = \dfrac{{a\sqrt {22} }}{{11}}\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
