Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat {ABC} = {60^0}.\) Hình chiếu vuông

Câu hỏi số 396284:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat {ABC} = {60^0}.\) Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng đáy là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,SD\). Biết cosin góc giữa hai đường thẳng \(CN\) và \(SM\) bằng \(\dfrac{{2\sqrt {26} }}{{13}}.\) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt {38} {a^3}}}{{24}}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt {19} {a^3}}}{{12}}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{12}}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt {38} {a^3}}}{{12}}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396284

Giải chi tiết

+) \({S_{ABCD}} = 2.{S_{ABC}} = 2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) (1)

+) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của MD, GD \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}NP\parallel SM \Rightarrow \left( {\widehat {SM;NC}} \right) = \left( {\widehat {NP;NC}} \right)\\NQ\parallel SG \Rightarrow NQ \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\) .

Tính được: \(GC = QC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3},\,MG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6},\,DG = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác MDC vuông tại C \( \Rightarrow CP = \dfrac{1}{2}DM = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{4}\)

Đặt \(SG = x\left( {x > 0} \right) \Rightarrow NQ = \dfrac{x}{2},\,\,SM = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} \Rightarrow NP = \dfrac{1}{2}\sqrt {{x^2} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} \).

Tam giác NQC vuông tại Q \( \Rightarrow NC = \sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} \)

Xet tam giác NPC có: \({\rm{cos}}\widehat {PNC} = \dfrac{{N{P^2} + N{C^2} - P{C^2}}}{{2.NP.NC}}\), mà \({\rm{cos}}\angle \left( {NP;NC} \right) = \dfrac{{2\sqrt {26} }}{{13}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {\dfrac{{N{P^2} + N{C^2} - P{C^2}}}{{2.NP.NC}}} \right| = \dfrac{{2\sqrt {26} }}{{13}}\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{12}} + {x^2}} \right) + \left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} \right) - \dfrac{{7{{\rm{a}}^2}}}{{16}}}}{{2.\sqrt {\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{12}} + {x^2}} \right).\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} \right)} }}} \right| = \dfrac{{2\sqrt {26} }}{{13}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {6{x^2} - {a^2}} \right)}^2}}}{{\left( {{a^2} + 12{x^2}} \right)\left( {3{x^2} + 4{a^2}} \right)}} = \dfrac{8}{{13}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 180{x^4} - 564{a^2}{x^2} - 19{a^4} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{19}}{6}{a^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt {19} a}}{{\sqrt 6 }}\end{array}\)

\( \Rightarrow SG = \dfrac{{\sqrt {19} a}}{{\sqrt 6 }}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) suy ra: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt {19} a}}{{\sqrt 6 }}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {38} }}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.