Chứng minh \({\left( {x + y + z} \right)^3} + 9xyz \ge 4\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + xz} \right)\)

Câu hỏi số 396419:

Vận dụng cao

Chứng minh \({\left( {x + y + z} \right)^3} + 9xyz \ge 4\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + xz} \right)\) với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực không âm. Đẳng thức xảy ra khi nào?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396419

Phương pháp giải

Biến đổi tương đương

Giải chi tiết

Không mất tính tổng quát giả sử \(x \ge y \ge z \ge 0.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + y + z} \right)^3} + 9xyz \ge 4\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + xz} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {{x^2}y + x{y^2} + {x^2}z + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2}} \right) + 15xyz\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge 4\left( {{x^2}y + x{y^2} + {x^2}z + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2}} \right) + 12xyz\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3xyz \ge {x^2}y + x{y^2} + {x^2}z + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2}\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{x^3} + xyz - {x^2}y - {x^2}z = x\left( {x - z} \right)\left( {x - y} \right) \ge 0\\ \Rightarrow {x^3} + xyz \ge {x^2}y + {x^2}z\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có : \({y^3} + xyz \ge {y^2}x + {y^2}z\)

\({z^3} + xyz \ge {z^2}y + {z^2}x\)

Suy ra bất đẳng thức (*) luôn đúng

Dấu bằng xảy ra khi \(x = y = z = 0\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link