Chứng minh \({\left( {x + y + z} \right)^3} + 9xyz \ge 4\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + xz} \right)\)

Câu hỏi số 396419:

Vận dụng cao

Chứng minh \({\left( {x + y + z} \right)^3} + 9xyz \ge 4\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + xz} \right)\) với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực không âm. Đẳng thức xảy ra khi nào?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396419

Phương pháp giải

Biến đổi tương đương

Giải chi tiết

Không mất tính tổng quát giả sử \(x \ge y \ge z \ge 0.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + y + z} \right)^3} + 9xyz \ge 4\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + xz} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {{x^2}y + x{y^2} + {x^2}z + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2}} \right) + 15xyz\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge 4\left( {{x^2}y + x{y^2} + {x^2}z + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2}} \right) + 12xyz\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3xyz \ge {x^2}y + x{y^2} + {x^2}z + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2}\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{x^3} + xyz - {x^2}y - {x^2}z = x\left( {x - z} \right)\left( {x - y} \right) \ge 0\\ \Rightarrow {x^3} + xyz \ge {x^2}y + {x^2}z\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có : \({y^3} + xyz \ge {y^2}x + {y^2}z\)

\({z^3} + xyz \ge {z^2}y + {z^2}x\)

Suy ra bất đẳng thức (*) luôn đúng

Dấu bằng xảy ra khi \(x = y = z = 0\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link