Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) a) Trên cung nhỏ

Câu hỏi số 396418:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\)

a) Trên cung nhỏ \(AB\) của đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(D\) (khác \(A,\,\,B\)). Gọi \(K\) là giao điểm thứ hai của đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AC\) với đường thẳng \(BD\). Chứng minh \(AD\) là đường trung trực của \(CK\).

b) Lấy \(P\) là điểm bất kỳ trên đoạn \(OC\) (khác \(O,\,\,C\)). Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(P\) trên \(AB\) và \(AC\). Gọi \(Q\) là điểm đối xứng của \(P\) qua đường thẳng \(EF\). Chứng minh \(Q\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396418

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta DKC\) vuông cân tại \(D\).

b) Chứng minh tứ giác \(AQFE\) nội tiếp.

Chứng minh các tam giác \(EBQ,\,\,FCQ\) cân, từ đó chứng minh \(\angle EQB = \angle FQC\).

Chứng minh \(\angle BQC = {90^0}\).

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\angle DKC = \dfrac{1}{2}\angle BAC = {45^0}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(BC\)).

Lại có \(\angle BDC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle KDC = {90^0}.\)

Suy ra \(\Delta DKC\) vuông cân tại \(D\).

\( \Rightarrow DK = DC\) hay \(D\) thuộc đường trung trực của \(KC.\)

Mà \(A\) thuộc đường trung trực của \(KC\). Do đó suy ra\(AD\)là đường trung trực của \(KC\)

b) Tam giác \(BEP\) vuông tại \(E\) có \(\angle ABC = \angle EBP = {45^0}\) nên là tam giác vuông cân, do đó \(EP = EB\). Mà \(EP = EQ\) (tính đối xứng) nên \(EQ = EB\), suy ra \(\Delta EBQ\) cân tại \(E\) \( \Rightarrow \angle EQB = \angle EBQ\).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(FQ = FP = FC \Rightarrow \angle FQC = \angle FCQ.\)

Ta có: \(\angle EQF = \angle EPF = {90^0}\) (do tính đối xứng) nên \(\angle EQF = \angle EAF = {90^0}\), do đó tứ giác \(AQFE\) là tứ giác nội tiếp) \( \Rightarrow \angle AEQ = \angle AFQ\) (hai góc nội tiếp cùng chắng cung \(AQ\)).

Mà \(\angle EBQ = \dfrac{{{{180}^0} - \angle AEQ}}{2}\), \(\angle FCQ = \dfrac{{{{180}^0} - \angle AFQ}}{2}\) (góc ngoài của tam giác) nên \(\angle EBQ = \angle FCQ\).

\( \Rightarrow \angle EQB = \angle FQC \Rightarrow \angle EQB + \angle BQF = \angle BQF + \angle EQC\)\( \Rightarrow \angle BQC = {90^0}.\)

Vậy \(Q \in \left( O \right)\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link