Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = xy + 3y - 1\\x + y = \dfrac{{{x^2}

Câu hỏi số 396652:

Vận dụng

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = xy + 3y - 1\\x + y = \dfrac{{{x^2} + y + 1}}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\)

A. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} \right);\left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{2}} \right)} \right\}\).

B. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} \right);\left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{2}} \right)} \right\}\).

C. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{-5 + \sqrt 5 }}{2}} \right);\left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{-5 - \sqrt 5 }}{2}} \right)} \right\}\).

D. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{-5 + \sqrt 5 }}{2}} \right);\left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{-5 - \sqrt 5 }}{2}} \right)} \right\}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396652

Phương pháp giải

Từ phương trình (1) rút \(1 + {x^2}\) theo \(y\).

Thế vào phương trình (2), đặt ẩn phụ \(a = x + y\), giải phương trình bậc hai tìm \(a\).

Rút \(x\) theo \(y\) (hoặc \(y\) theo \(x\)), thế vào phương trình đơn giản hơn, giải phương trình tìm \(y\) (hoặc \(x\)), sau đó tìm ẩn còn lại và kết luận.

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = xy + 3y - 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + y = \dfrac{{{x^2} + y + 1}}{{1 + {x^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Phương trình (1) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = xy + 3y - 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 1 = - {y^2} - xy + 3y.\)

Thế vào phương trình (2) ta được:

\(\begin{array}{l}x + y = \dfrac{{{x^2} + y + 1}}{{1 + {x^2}}} = 1 + \dfrac{y}{{1 + {x^2}}}\\ \Leftrightarrow x + y = 1 - \dfrac{y}{{{y^2} + xy - 3y}}\\ \Leftrightarrow x + y = 1 - \dfrac{1}{{y + x - 3}}\end{array}\)

Đặt \(x + y = a\) ( đk: \(a \ne 3\)) khi đó phương trình trở thành:

\(a = 1 - \dfrac{1}{{a - 3}} \Leftrightarrow {a^2} - 3a = a - 3 - 1\)

\( \Rightarrow {a^2} - 4a + 4 = 0 \Rightarrow a = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\) hay \(x + y = 2.\)

Thế vào phương trình (1) ta thu được:

\(\begin{array}{l}{2^2} = \left( {2 - y} \right)y + 3y - 1\\ \Leftrightarrow 4 = 2y - {y^2} + 3y - 1\\ \Leftrightarrow {y^2} - 5y + 5 = 0\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{5 \pm \sqrt 5 }}{2}\\ \Leftrightarrow x = 2 - y = \dfrac{{ - 1 \mp \sqrt 5 }}{2}\end{array}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} \right);\left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{2}} \right)} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link