Cho các số thực không âm \(x,y,z\) thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} + {z^2} \le 3y\). Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 396660:

Vận dụng cao

Cho các số thực không âm \(x,y,z\) thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} + {z^2} \le 3y\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{4}{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{8}{{{{\left( {z + 3} \right)}^2}}}\).

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(0\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396660

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{8}{{{{\left( {z + 3} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{z}{2} + \dfrac{3}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{z}{2} + \dfrac{3}{2}} \right)}^2}}}\\ \ge \dfrac{{{{\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{\dfrac{z}{2} + \dfrac{3}{2}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{z}{2} + \dfrac{3}{2}}}} \right)}^2}}}{3} \ge \dfrac{{{{\left( {\dfrac{9}{{x + z + 4}}} \right)}^2}}}{3} = \dfrac{{27}}{{{{\left( {x + z + 4} \right)}^2}}}\end{array}\)

Mặt khác:\({\left( {x + z + 4} \right)^2} = {x^2} + {z^2} + 16 + 2xz + 8x + 8z\)

\( \le {x^2} + {z^2} + 16 + {x^2} + {z^2} + 4{x^2} + 4 + 4{z^2} + 4\left( {do\,{x^2} + 1 \ge 2x;\,{z^2} + 1 \ge 2z} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {x + z + 4} \right)}^2}}}{6} \le {x^2} + {z^2} + 4\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{8}{{{{\left( {z + 3} \right)}^2}}} \ge \dfrac{{27}}{{{{\left( {x + z + 4} \right)}^2}}} \ge \dfrac{9}{{2\left( {3y + 4 + {y^2}} \right)}}\end{array}\)

\( \Rightarrow P \ge \dfrac{4}{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{9}{{2\left( {3y + 4 + {y^2}} \right)}}\)

Lúc này ta sẽ chứng minh \(\dfrac{4}{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{9}{{2\left( {3y + 4 + {y^2}} \right)}} \ge 1\)

Thật vậy: bất đẳng thức \( \Leftrightarrow {\left( {y - 2} \right)^2}\left( {2{y^2} + 10y + 9} \right) \ge 0\)(luôn đúng)

Vậy biểu thức P đạt GTNN bằng 1. Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = z = 1;y = 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link