Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB và AC sao cho các nửa

Câu hỏi số 396659:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB và AC sao cho các nửa đường tròn này không có điểm nào nằm trong tam giác ABC. Đường thẳng \(d\) đi qua A cắt các nửa dường tròn đường kính AB và AC theo thứ tự ở M và N (khác điểm A). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC.

1) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang vuông.

2) Chứng minh \(IM = IN\).

3) Giả sử đường thẳng \(d\) thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện đề bài. Hãy xác đinh vị trí của đường thẳng \(d\) để chu vi tứ giác BMNC lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396659

Phương pháp giải

1) Sử dụng định lí: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Chứng minh tứ giác \(BMNC\) có \(BM\parallel NC\) dựa vào nội dung định lí từ vuông góc đến song song, và chứng minh tứ giác \(BMNC\) có 1 góc vuông.

2) \(IH \bot MN\,\,\left( {H \in MN} \right)\), sử dụng định lí đường trung bình của tam giác chứng minh \(H\) là trung điểm của \(MN\)

Sử dụng các tính chất của tam giác cân: Trong tam giác cân, đường cao xuất phát từ đỉnh cân đồng thời là đường phân trung tuyến. Chứng minh \(\Delta IMN\) cân tại \(I\).

3) Sử dụng tính chất: cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn hoặc bằng cạnh huyền trong tam giác.

Giải chi tiết

1) Ta có các góc \(\angle AMB,\,\,\angle ANC\) là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\angle AMB = \angle ANC = {90^0}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM \bot MB \Rightarrow MN \bot MB\\AN \bot NC \Rightarrow MN \bot NC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow MB\parallel NC\) (từ vuông góc đến song song), do đó \(BMNC\) là hình thang. Lại có \(MN \bot MB \Rightarrow \angle BMN = {90^0}\). Vậy \(BMNC\) là hình thang vuông tại \(M,\,\,N\).

2) Từ \(I\)kẻ \(IH \bot MN\,\,\left( {H \in MN} \right)\), khi đó ta có \(IH\parallel BM\parallel CN\) (cùng vuông góc với \(MN\)).

Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(MN\) (định lí đường trung bình của hình thang).

Xét \(\Delta IMN\)có \(IH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến \( \Rightarrow \)\(\Delta IMN\)cân tại \(I\).

Vậy \(IM = IN\) (đpcm).

3) Chu vi tứ giác \(BMNC\) là:

\({C_{BMNC}} = BC + BM + MN + NC\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = BC + MN + 2IH\) (do \(IH\) là đường trung bình của hình thang \(BMNC\))

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \le BC + BC + 2IA = 2BC + BC = 3BC\) (do \(MN \le BC,\,IH \le IA\)).

Hay \({C_{BMNC}} \le 3BC\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow H \equiv A\) hay \(A\)chính là hình chiếu vuông góc của \(I\)trên \(d\).

Vậy chu vi tứ giác \(BMNC\)đạt GTLN khi \(d\)là đường thẳng đi qua A và vuông góc với IA.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link