Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: \(x{y^2} - {\left( {y - 45} \right)^2} + 2xy + x -

Câu hỏi số 398378:

Vận dụng

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:

\(x{y^2} - {\left( {y - 45} \right)^2} + 2xy + x - 220y + 2024 = 0\).

A. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {25;3} \right);\left( {15;7} \right)} \right\}.\)

B. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {3;25} \right);\left( {7;15} \right)} \right\}.\)

C. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {3;25} \right);\left( {15;7} \right)} \right\}.\)

D. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {25;3} \right);\left( {7;15} \right)} \right\}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:398378

Phương pháp giải

Khai triển hằng đẳng thức, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(y\) (coi \(x\) là tham số).

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên là \(\Delta \) (hoặc \(\Delta '\)) phải là số chính phương.

Chặn khoảng giá trị của \(x\), tìm \(y\) tương ứng.

Thử lại và kết luận nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x{y^2} - {\left( {y - 45} \right)^2} + 2xy + x - 220y + 2024 = 0\\ \Leftrightarrow x{y^2} - \left( {{y^2} - 90y + {{45}^2}} \right) + 2xy + x - 220y + 2024 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2}\left( {x - 1} \right) + 2xy - 130y + x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2}\left( {x - 1} \right) + 2y\left( {x - 65} \right) + x - 1 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

+ Với \(x = 1\) phương trình (*) \( \Leftrightarrow 2y.\left( {1 - 65} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0\) (loại do \(x,y > 0\)).

+ Với \(x \ne 1\) thì ta coi phương trình (*) là phương trình bậc 2 ẩn \(y\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {x - 65} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\, = \left( {x - 65 - x + 1} \right)\left( {x - 65 + x - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\, = - 64.\left( {2x - 66} \right) = 64\left( {66 - 2x} \right)\end{array}\)

Để phương trình (*) có nghiệm thì \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 66 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 33\).

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = \dfrac{{ - \left( {x - 65} \right) + 8\sqrt {66 - 2x} }}{{x - 1}}\\\,{y_2} = \dfrac{{ - \left( {x - 65} \right) - 8\sqrt {66 - 2x} }}{{x - 1}}\end{array} \right.\)

Để có nghiệm \(y\) nguyên dương thì điều kiện cần là \(\sqrt {66 - 2x} \) phải nguyên.

\( \Rightarrow 66 - 2x\) là số chính phương.

Vì \(x > 0 \Rightarrow 0 \le 66 - 2x < 66\)\( \Rightarrow \left( {66 - 2x} \right) \in \left\{ {4;16;36;64} \right\}\,\)( do nhận thấy \(66 - 2x\) là số chẵn)

\( \Rightarrow x \in \left\{ {31;25;15;1} \right\}\) mà \(x \ne 1\) nên \(x \in \left\{ {31;25;15} \right\}.\)

Lần lượt thay 3 giá trị của \(x\) vào phương trình (*) ta được kết quả sau:

Thử lại:

Với \(x = 25,\,\,y = 3\) ta có: \({25.3^2} - {\left( {3 - 45} \right)^2} + 2.25.3 + 25 - 220.3 + 2024 = 0\) (TM).

Với \(x = 15,\,\,y = 7\) ta có: \({15.7^2} - {\left( {7 - 45} \right)^2} + 2.15.7 + 15 - 220.7 + 2024 = 0\) (TM).

Vậy các cặp nghiệm nguyên dương của phương trình là: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {25;3} \right);\left( {15;7} \right)} \right\}.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link