Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) cạnh a. Lấy điểm \(M\) là điểm bất kỳ trên cạnh \(AB\) \(\left(

Câu hỏi số 398381:

Vận dụng

Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) cạnh a. Lấy điểm \(M\) là điểm bất kỳ trên cạnh \(AB\) \(\left( {M \ne A,M \ne B} \right)\).

Qua \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(CM\) tại \(H\), \(DH\) cắt \(AC\) tại \(K\).

1) Chứng minh rằng \(MK\) song song với \(BD\).

2) Gọi là trung điểm của \(BC\), trên tia đối của tia \(NO\) lấy điểm \(E\) sao cho \(\dfrac{{ON}}{{OE}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), \(DE\) cắt \(OC\) tại \(F\). Tính \(\dfrac{{FO}}{{FC}}\).

3) Gọi \(P\) là giao điểm của \(MC\) và \(BD\), \(Q\) là giao điểm của \(MD\) và \(AC\). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác \(CPQD\) khi \(M\) thay đổi trên cạnh \(AB\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:398381

Phương pháp giải

1) Chứng minh tứ giác \(AHCD\) nội tiếp.

Chứng minh tứ giác \(BCDH\) nội tiếp.

Chứng minh tứ giác \(AKMH\) nội tiếp, từ đó suy ra \(\angle AKM = {90^0}\).

2) Chứng minh \(\Delta OEF\) và \(\Delta CDF\) đồng dạng theo trường hợp g.g, từ đó tính được tỉ số \(\dfrac{{FO}}{{FC}}\).

3) Chia nhỏ từ giác thành 2 tam giác để dễ dàng tính diện tích, sử dụng tính chất tỷ số diện tích của các tam giác thông qua các cạnh của tam giác kết hợp bất đẳng thức, từ đó sẽ tính được giá trị nhỏ nhất cần tìm.

Giải chi tiết

1) Chứng minh rằng \(MK\) song song với \(BD\).

Xét tứ giác \(AHCD\) có: \(\angle AHC=\angle ADC={{90}^{0}}\)\(\Rightarrow AHCD\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle ADH = \angle ACH\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AH\)).

\( \Rightarrow \angle ADB - \angle ADH = {45^0} - \angle ADH = \angle ACB - \angle ACH\)

\( \Rightarrow \angle BDH = \angle BCH\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BCDH\) là tứ giác nội tiếp (dhnb) \( \Rightarrow \angle DHC = \angle DBC = {45^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\)).

Xét tứ giác \(AHMK\) có: \(\angle KHM\left( { \equiv \angle DHC} \right) = \angle KAM = {45^0}\)\( \Rightarrow AHMK\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle AKM + \angle AHM = {180^0}\) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AKM = {180^0} - \angle AHM = {180^0} - {90^0} = {90^0}.\\ \Rightarrow MK \bot AC\end{array}\)

Mà \(BD \bot AC\) (do \(ABCD\) là hình vuông).

\( \Rightarrow MK\parallel BD\) (từ vuông góc đến song song).

2) Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\), trên tia đối của tia \(NO\) lấy điểm \(E\) sao cho \(\dfrac{{ON}}{{OE}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), \(DE\) cắt \(OC\) tại. Tính \(\dfrac{{FO}}{{FC}}\).

+ Xét \(\Delta BCD\) có \(O,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BD\) và \(BC\) \( \Rightarrow ON\) là đường trung bình của \(\Delta BCD.\)

\( \Rightarrow ON\parallel CD\) và \(ON = \dfrac{1}{2}CD.\)

Mà theo bài ra ta có: \(\dfrac{{ON}}{{OE}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow ON = OE.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{1}{2}CD \Rightarrow OE = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}CD.\)

+ Xét \(\Delta OEF\) và \(\Delta CDF\) có:

\(\angle OFE = \angle CFD\,\) (đối đỉnh)

\(\angle OEF = \angle CDF\) (so le trong)

\( \Rightarrow \Delta OEF\, \sim \,\Delta CDF\,\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{FO}}{{FC}} = \dfrac{{OE}}{{CD}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy \(\dfrac{{FO}}{{FC}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

3) Gọi \(P\) là giao điểm của \(MC\) và \(BD\), \(Q\) là giao điểm của \(MD\) và \(AC\). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác \(CPQD\) khi \(M\) thay đổi trên cạnh \(AB\).

Coi \(a = 1\); đặt \(BM = x.\)

Ta có: \({S_{CPQD}} = {S_{DQP}} + {S_{DPC}}.\)

Ta có: \(\dfrac{{{S_{DQP}}}}{{{S_{DMB}}}} = \dfrac{{DQ}}{{DM}}.\dfrac{{DP}}{{DB}}\), \(\dfrac{{{S_{DMB}}}}{{{S_{DAB}}}} = \dfrac{{MB}}{{AB}}\), \(\dfrac{{{S_{DAB}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{DPQ}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{{S_{DQP}}}}{{{S_{DMB}}}}.\dfrac{{{S_{DMB}}}}{{{S_{DAB}}}}.\dfrac{{{S_{DAB}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{DQ}}{{DM}}.\dfrac{{DP}}{{DB}}.\dfrac{{MB}}{{AB}}.\dfrac{1}{2}\)

Mà \(\dfrac{{DQ}}{{QM}} = \dfrac{{DC}}{{AM}}\) (Định lí Ta-lét)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{DQ}}{{DQ + QM}} = \dfrac{{DC}}{{AM + DC}}\\ \Rightarrow \dfrac{{DQ}}{{DM}} = \dfrac{{DC}}{{AM + DC}}\end{array}\)

Tương tự : \(\dfrac{{DP}}{{PB}} = \dfrac{{DC}}{{MB}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{DP}}{{DP + PB}} = \dfrac{{DC}}{{DC + MB}}\\ \Rightarrow \dfrac{{DP}}{{DB}} = \dfrac{{DC}}{{DC + MB}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{DPQ}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{DC}}{{AM + DC}}.\dfrac{{DC}}{{MB + DC}}.\dfrac{{MB}}{{AB}}.\dfrac{1}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) \(\dfrac{{{S_{DPC}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{DP}}{{DB}}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{DC}}{{MB + DC}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

+) Từ (1) và (2) suy ra:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{S_{DPQ}} + {S_{DPC}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{{S_{CPQD}}}}{{{S_{ABCD}}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{DC}}{{AM + DC}}.\dfrac{{DC}}{{MB + DC}}.\dfrac{{MB}}{{AB}} + \dfrac{{DC}}{{MB + DC}}} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{CPQD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{1 - x + 1}}.\dfrac{1}{{x + 1}}.\dfrac{x}{1} + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{1}{{2 - x}}.\dfrac{1}{{x + 1}}.x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{x + 2 - x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\end{array}\)

Mặt khác lại có: \(\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right) \le \dfrac{{{{\left( {x + 1 + 2 - x} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{9}{4}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}} \ge \dfrac{4}{9}\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{CPQD}}}}{{{S_{ABCD}}}} \ge \dfrac{4}{9} \Rightarrow {S_{CPQD}} \ge \dfrac{4}{9}.{S_{ABCD}} = \dfrac{4}{9}.{a^2}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x + 1 = 2 - x \Rightarrow x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}\)\( \Rightarrow M\)là trung điểm của \(AB.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác \(CPQD\) là \(\dfrac{4}{9}{a^2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link