Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác cân tại \(A\) có \(AB = AC = 2a,\) \(\angle

Câu hỏi số 400195:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác cân tại \(A\) có \(AB = AC = 2a,\) \(\angle CAB = {120^0}.\) Mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) tạo với đáy một góc \({60^0}\). Thể tích khối lăng trụ là:

A. \(2{a^3}\)

B. \(\frac{{3{a^3}}}{8}\)

C. \(\frac{{{a^3}}}{3}\)

D. \(3{a^3}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:400195

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\): góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài đường cao \(h = AA'\).

- Tính diện tích đáy \({S_{A'B'C'}}\), sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\).

- Tính thể tích khối lăng trụ \(V = Sh\).

Giải chi tiết

Gọi \(D\) là trung điểm của \(B'C'\). Vì tam giác \(A'B'C'\) cân tại \(A'\) nên \(A'D \bot B'C'\) (trung tuyến đồng thời là đường cao).

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}A'D \bot B'C'\\AA' \bot B'C'\end{array} \right\} \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'D} \right) \Rightarrow B'C' \bot AD\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'\\\left( {AB'C'} \right) \supset AD \bot B'C'\\\left( {A'B'C'} \right) \supset A'D \bot B'C'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {AB'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \angle \left( {AD;A'D} \right) = \angle ADA' = {60^0}.\)

Vì tam giác \(A'B'C'\) cân tại \(A'\) nên \(\angle DA'C' = \frac{1}{2}\angle B'A'C' = {60^0}\) (trung tuyến đồng thời là phân giác).

Xét tam giác vuông \(A'C'D\) có: \(A'D = A'C'.cos{60^0} = 2a.\frac{1}{2} = a.\)

Xét tam giác vuông \(AA'D\) có: \(AA' = A'D.\tan {60^0} = a.\sqrt 3 .\)

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC = \frac{1}{2}.2a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {a^2}\sqrt 3 .\)

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 .{a^2}\sqrt 3 = 3{a^3}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.