Tìm các bộ số tự nhiên \(\left( {{a_1};{a_2};{a_3};...;{a_{2019}}} \right)\) thỏa mãn: \(\left\{

Câu hỏi số 400247:

Vận dụng cao

Tìm các bộ số tự nhiên \(\left( {{a_1};{a_2};{a_3};...;{a_{2019}}} \right)\) thỏa mãn:

\(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2019}} \ge {2019^2}\\a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_{2019}^2 \le {2019^3} + 1\end{array} \right..\)

A. \({a_1} = {a_2} = ... = {a_{2019}} = 1.\)

B. \({a_1} = {a_2} = ... = {a_{2019}} = 2018.\)

C. \({a_1} = {a_2} = ... = {a_{2019}} = 2019.\)

D. \({a_1} = {a_2} = ... = {a_{2019}} = 2020.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400247

Phương pháp giải

Giải hệ bất phương trình bằng phương pháp đánh giá.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2019}} \ge {2019^2}\\a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_{2019}^2 \le {2019^3} + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4038\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2019}}} \right) \le - {4038.2019^2}\\a_1^2 + a_2^2 + a_2^2 + ... + a_{2019}^2 \le {2019^3} + 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ... + a_{2019}^2 - 4038\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2019}}} \right) \le {2019^3} + 1 - {4038.2019^2}\\ \Leftrightarrow \left( {a_1^2 - 4038{a_1} + {{2019}^2}} \right) + \left( {a_2^2 - 4038{a_1} + {{2019}^2}} \right) + ... + \left( {a_{2019}^2 - 4038{a_{2019}} + {{2019}^2}} \right) \le {2019^3} + 1 - {2019.2019^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{a_1} - 2019} \right)^2} + {\left( {{a_2} - 2019} \right)^2} + ... + {\left( {{a_{2019}} - 2019} \right)^2} \le 1\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {{a_1} - 2019} \right)^2} + {\left( {{a_2} - 2019} \right)^2} + ... + {\left( {{a_{2019}} - 2019} \right)^2} = 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{\left( {{a_1} - 2019} \right)^2} + {\left( {{a_2} - 2019} \right)^2} + ... + {\left( {{a_{2019}} - 2019} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\\\left( 2 \right) \Rightarrow {a_1} = {a_2} = ... = {a_{2019}} = 2019.\end{array}\)

\(\left( 1 \right) \Rightarrow \) trong các số \({a_1};{a_2};{a_3};...;{a_{2019}}\) có một số bằng \(2018\) hoặc \(2020,\) tất cả các số còn lại bằng \(2019.\)

+) Giả sử \({a_1} = 2018,{a_2} = {a_3} = ... = {a_{2019}} = 2019\)

\( \Rightarrow {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2019}} = 2018 + 2019 + ... + 2019\)\( = 2018 + 2018.2019 < {2019^2},\) không thỏa mãn.

+) Giả sử \({a_1} = 2020,{a_2} = {a_3} = ... = {a_{2019}} = 2019\)

\( \Rightarrow a_1^2 + a_2^2 + ... + a_{2019}^2 = {2020^2} + {2018.2019^2}\)\( = {\left( {2019 + 1} \right)^2} + {2018.2019^2}\) \( = {2019^3} + 2.2019 + 1 > {2019^3} + 1,\) không thỏa mãn.

Vậy \({a_1} = {a_2} = ... = {a_{2019}} = 2019.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link