Cho ba số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3.\) Chứng minh rằng : \(\frac{{{a^3} +

Câu hỏi số 400249:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3.\) Chứng minh rằng :

\(\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{a + 2b}} + \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{b + 2c}} + \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{c + 2a}} \ge 2.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400249

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức được chứng minh ở ý 1 để chứng minh bất đẳng thức với các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) dương.

Giải chi tiết

Áp dụng kết quả câu 1, với \(x > 0\) ta có: \(\frac{{{x^3} + 1}}{{x + 2}} \ge \frac{7}{{18}}{x^2} + \frac{5}{{18}}\) ta có:

+) Với \(x = \frac{a}{b} > 0\) ta có: \(\frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^3} + 1}}{{\frac{a}{b} + 2}} \ge \frac{7}{{18}}{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} + \frac{5}{{18}} \Rightarrow \frac{{{a^3} + {b^3}}}{{a + 2b}} \ge \frac{7}{{18}}{a^2} + \frac{5}{{18}}{b^2}.\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{b^3} + {c^3}}}{{b + 2c}} \ge \frac{7}{{18}}{b^2} + \frac{5}{{18}}{c^2}\\\frac{{{c^3} + {a^3}}}{{c + 2a}} \ge \frac{7}{{18}}{c^2} + \frac{5}{{18}}{a^2}\end{array} \right..\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

\(\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{a + 2b}} + \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{b + 2c}} + \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{c + 2a}} \ge \frac{7}{{18}}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \frac{5}{{18}}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)\( = \frac{{12}}{{18}}.3 = 2\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = 1.\)

Vậy \(\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{a + 2b}} + \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{b + 2c}} + \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{c + 2a}} \ge 2.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link