Cho ba số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3.\) Chứng minh rằng : \(\frac{{{a^3} +

Câu hỏi số 400249:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3.\) Chứng minh rằng :

\(\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{a + 2b}} + \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{b + 2c}} + \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{c + 2a}} \ge 2.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400249

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức được chứng minh ở ý 1 để chứng minh bất đẳng thức với các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) dương.

Giải chi tiết

Áp dụng kết quả câu 1, với \(x > 0\) ta có: \(\frac{{{x^3} + 1}}{{x + 2}} \ge \frac{7}{{18}}{x^2} + \frac{5}{{18}}\) ta có:

+) Với \(x = \frac{a}{b} > 0\) ta có: \(\frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^3} + 1}}{{\frac{a}{b} + 2}} \ge \frac{7}{{18}}{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} + \frac{5}{{18}} \Rightarrow \frac{{{a^3} + {b^3}}}{{a + 2b}} \ge \frac{7}{{18}}{a^2} + \frac{5}{{18}}{b^2}.\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{b^3} + {c^3}}}{{b + 2c}} \ge \frac{7}{{18}}{b^2} + \frac{5}{{18}}{c^2}\\\frac{{{c^3} + {a^3}}}{{c + 2a}} \ge \frac{7}{{18}}{c^2} + \frac{5}{{18}}{a^2}\end{array} \right..\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

\(\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{a + 2b}} + \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{b + 2c}} + \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{c + 2a}} \ge \frac{7}{{18}}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + \frac{5}{{18}}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)\( = \frac{{12}}{{18}}.3 = 2\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = 1.\)

Vậy \(\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{a + 2b}} + \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{b + 2c}} + \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{c + 2a}} \ge 2.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link