Cho hình vuông \(ABCD\) với tâm \(O.\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB.\) Các điểm

Câu hỏi số 400250:

Vận dụng

Cho hình vuông \(ABCD\) với tâm \(O.\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB.\) Các điểm \(N,\,\,P\) theo thứ tự thuộc các cạnh \(BC,\,\,CD\) sao cho \(MN//AP.\) Chứng minh rằng:

1) Tam giác \(ADP\) đồng dạng với tam giác \(NBM.\)

2) \(BN.DP = O{B^2}.\)

3) \(DO\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OPN.\)

4) Ba đường thẳng \(BD,\,\,AN,\,\,PM\) đồng quy.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400250

Phương pháp giải

1,2: Chứng minh và sử dụng tam giác đồng dạng.

3. Chứng minh \(\angle PNO = \angle POD.\)

4. Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét.

Giải chi tiết

1) Tam giác \(ADP\) đồng dạng với tam giác \(NBM.\)

Ta có: \(MN//AP \Rightarrow \angle BMN = \angle BAP\) (hai góc đồng vị)

Mà \(\angle MAP = \angle APD\) (hai góc so le trong do \(AB//CD\))

\( \Rightarrow \angle BMN = \angle APD\,\,\left( { = \angle BAP} \right)\)

Xét \(\Delta ADP\) và \(\Delta NBM\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle ADP = \angle NBM = {90^0}\\\angle BMN = \angle DPA\,\,\,\,\left( { = \angle BAP} \right)\\ \Rightarrow \Delta ADP \sim \Delta NBM\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

2) \(BN.DP = O{B^2}.\)

Ta có: \(\Delta ADP \sim \Delta NBM\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{AD}}{{BN}} = \frac{{DP}}{{BM}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow BN.DP = AD.BM.\)

Lại có: \(M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow BM = \frac{1}{2}AB.\)

Và \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AB = AD\)\( \Rightarrow BN.DP = AD.BM = \frac{{A{B^2}}}{2}.\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta AOB\) vuông cân tại \(O\) ta có:

\(\begin{array}{l}2O{B^2} = A{B^2} \Leftrightarrow O{B^2} = \frac{{A{B^2}}}{2}\\ \Rightarrow BN.DP = O{B^2}\,\,\,\left( { = \frac{{A{B^2}}}{2}} \right).\end{array}\)

3) \(DO\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OPN.\)

Ta có: \(BN.DP = O{B^2}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{BN}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{DP}} \Rightarrow \frac{{BN}}{{OD}} = \frac{{OB}}{{DP}}\) (Vì \(OB = OD\))

Xét \(\Delta OBN\) và \(\Delta PDO\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{BN}}{{OD}} = \frac{{OB}}{{DP}}\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle OBN = \angle PDO = {45^0}\\ \Rightarrow \Delta OBN \sim \Delta PDO\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow \frac{{ON}}{{PO}} = \frac{{OB}}{{PD}} \Rightarrow \frac{{ON}}{{PO}} = \frac{{OD}}{{PD}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\end{array}\)

Vì \(\Delta OBN \sim \Delta PDO\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle NOB = \angle OPD\)

\( \Rightarrow \angle NOP = {180^0} - \angle DOP - \angle NOB = {180^0} - \angle DOP - \angle OPD = \angle ODP = {45^0}\)

\( \Rightarrow \angle NOP = \angle ODP\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow \Delta NOP \sim \Delta ODP\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle PNO = \angle POD\) (hai góc tương ứng).

Xét đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OPN\) ta có:

\(\angle PNO\) là góc nội tiếp chắn cung \(OP\)

\( \Rightarrow \angle DOP\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(OP.\)

\( \Rightarrow OD\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OPN.\)

4) Ba đường thẳng \(BD,\,\,AN,\,\,PM\) đồng quy.

Gọi \(E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AN,\,\,\,F\) là giao điểm của \(BD\) và \(MP.\)

Theo định lý Ta-lét ta có: \(\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{BN}}{{AD}}\,\,\left( {BN\,{\rm{//}}\,AD} \right)\) và \(\frac{{FB}}{{FD}} = \frac{{MB}}{{DP}}\,\,\left( {MB\,{\rm{//}}\,DP} \right)\)

Mà \(\frac{{BN}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{DP}}\,\,\left( {\Delta ADP \sim \Delta NBM} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{FB}}{{FD}} \Rightarrow E \equiv F \Rightarrow BD,\,AN,\,\,PM\) đồng quy tại \(E.\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link