Cho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(1 \le a \le 2,1 \le b \le 2.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

Câu hỏi số 400391:

Vận dụng cao

Cho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(1 \le a \le 2,1 \le b \le 2.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {a + \frac{2}{b}} \right)\left( {b + \frac{2}{a}} \right)\).

A. \({P_{\min }} = 2\) ; \({P_{\max }} = 4\)

B. \({P_{\min }} = 4\) ; \({P_{\max }} = 8\)

C. \({P_{\min }} = 4\) ; \({P_{\max }} = 5\)

D. \({P_{\min }} = 8\) ; \({P_{\max }} = 9\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400391

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và điều kiện đề bài để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Ta có: \(P = \left( {a + \frac{2}{b}} \right)\left( {b + \frac{2}{a}} \right) = ab + \frac{4}{{ab}} + 4\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(ab,\,\,\frac{4}{{ab}}\) ta có: \(ab + \frac{4}{{ab}} \ge 2\sqrt {ab.\frac{4}{{ab}}} = 4.\)

\( \Rightarrow P \ge 4 + 4 = 8.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = \frac{4}{{ab}}\\1 \le a,\,\,b \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = 2\\1 \le a,b \le 2\end{array} \right..\)

Mặt khác \(1 \le a \le 2,1 \le b \le 2\) ta có: \(1 \le ab \le 4 \Leftrightarrow \left( {ab - 1} \right)\left( {ab - 4} \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {ab} \right)^2} \le 5ab - 4\)

Khi đó: \(P = \frac{{{{\left( {ab} \right)}^2} + 4ab + 4}}{{ab}} \le \frac{{5ab - 4 + 4ab + 4}}{{ab}} = 9.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}ab = 1\\ab = 4\end{array} \right.\\1 \le a,b \le 2\end{array} \right..\)

Vậy \({P_{\min }} = 8\) khi \(ab = 2\) và \(1 \le a,b \le 2\) và \({P_{\max }} = 9\) khi \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}ab = 1\\ab = 4\end{array} \right.\\1 \le a,b \le 2\end{array} \right..\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link