Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB.\) Kẻ hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) lần

Câu hỏi số 400390:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB.\) Kẻ hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) lần lượt là hai tiếp tuyến tại các tiếp điểm \(A\) và \(B\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Điểm \(M\) thuộc đường tròn \(\left( O \right),\,\,\left( {M \ne A,\,\,B} \right),\) tiếp tuyến tại \(M\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt \(d,d'\) lần lượt tại \(C\) và \(D.\) Đường thẳng \(BM\) cắt \(d\) tại \(E.\)

a) So sánh độ dài các đoạn thẳng \(CM,CA,CE.\)

b) Đường thẳng \(EO\) cắt hai đường thẳng \(d',AD\) lần lượt tại \(I\) và \(J.\) Chứng minh các điểm \(A,B,I,J\) cùng thuộc một đường tròn.

c) Giả sử \(AE = BD,\) tính độ dài đoạn thẳng \(AM\) theo \(R.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400390

Phương pháp giải

a) Chứng minh tam giác cân.

b) Chứng minh \(O\) là trực tâm \(\Delta ADI.\)

c) Tính \(CM\) sau đó suy ra \(AE.\)

Giải chi tiết

a) So sánh độ dài các đoạn thẳng \(CM,CA,CE.\)

Ta có \(AC,\,\,\,CM\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(C\)

\( \Rightarrow CA = CM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

\( \Rightarrow \Delta ACM\) cân tại \(C \Rightarrow \angle CAM = \angle CMA\) (tính chất tam giác cân).

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle CME + \angle CMA = {90^0}\\\angle CEM + \angle CAM = {90^0}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle CME = \angle CEM\)

\( \Rightarrow \Delta CME\) cân tại \(C \Rightarrow CE = CM.\)(tính chất tam giác cân).

\( \Rightarrow CM = CA = CE.\)

b) Đường thẳng \(EO\) cắt hai đường thẳng \(d',AD\) lần lượt tại \(I\) và \(J.\) Chứng minh các điểm \(A,B,I,J\) cùng thuộc một đường tròn.

Xét \(\Delta AOE\) và \(\Delta BOI\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle EAO = \angle OBI = {90^0}\\OA = OB\,\,\left( { = R} \right)\end{array}\)

\(\angle AOE = \angle BOI\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta AOE = \Delta BOI\,\,\,\left( {g - c - g} \right).\)

\( \Rightarrow AE = BI\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(AE//BI\,\,\,\left( {d//d'} \right)\)

\( \Rightarrow AEBI\) là hình bình hành. (dhnb)

\( \Rightarrow AI//BE\) (tính chất hình bình hành).

Ta có: \(BM,\,\,DB\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(D\)

\( \Rightarrow DO \bot BM\) hay \(DO \bot BE\)

\( \Rightarrow DO \bot AI\) (từ song song đến vuông góc).

Xét \(\Delta ADI\) ta có:

\(\begin{array}{l}DO \bot AI\,\,\,\left( {cmt} \right)\\AO \bot DE\,\,\left( {gt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow O\) là trực tâm \(\Delta ADI\)

\( \Rightarrow OI \bot AD\) hay \(IJ \bot AD = \left\{ J \right\}\) \( \Rightarrow \angle AJI = {90^0}\)

Xét tứ giác \(AIBJ\) ta có:

\(\angle AJI = \angle ABI = {90^0}\)

Mà hai góc này là hai góc có hai đỉnh kề cạnh \(BJ,\) cùng nhìn cạnh \(AI\)

\( \Rightarrow AIBJ\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Hay các điểm \(A,B,I,J\) cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

c) Giả sử \(AE = BD,\) tính độ dài đoạn thẳng \(AM\) theo \(R.\)

Áp dụng tính chất của các tiếp tuyến cắt nhau ta có:

\(CO\) là tia phân giác của \(\angle AOM\)

\(DO\) là tia phân giác của \(\angle BOM\)

Mà \(\angle AOM,\,\,\,\angle MOB\) là hai góc kề bù

\( \Rightarrow CO \bot DO\) hay \(\Delta COD\) vuông tại \(O.\)

Áp dụng hệ thức lương cho \(\Delta COD\) vuông tại \(O\) và có đường cao \(OM\) ta có:

\(O{M^2} = CM.MD.\)

Mà \(BM,\,\,DB\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(D\)

\( \Rightarrow MD = BD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow O{M^2} = CM.BD\)

Lại có: \(CM = CA = CE\,\,\,\left( {cm\,\,a} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AE = 2CA = 2CM.\\ \Rightarrow O{M^2} = \frac{1}{2}AE.BD = \frac{1}{2}A{E^2} = {R^2}\\ \Rightarrow A{E^2} = 2{R^2}\\ \Leftrightarrow AE = R\sqrt 2 \end{array}\)

Ta có: \(\angle AMB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle AMB = {90^0} \Rightarrow AM \bot EB.\)

Áp dụng hệ thức lương cho \(\Delta AEB\) vuông tại \(A\) và có đường cao \(AM\) ta có:

\(AM = \frac{{AE.AB}}{{\sqrt {A{E^2} + A{B^2}} }}\) \( = \frac{{R\sqrt 2 .2R}}{{\sqrt {2{R^2} + 4{R^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2 {R^2}}}{{R\sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt 3 R}}{3}.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link