Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} +

Câu hỏi số 400428:

Vận dụng

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\,\,\,\left( C \right)\) tại điểm có tung độ \({y_0} = - 2\).

A. \(y=9x+7\), \( y = x + 2\)

B. \(y=-9x+7\), \(y = x - 2\)

C. \(y=9x-7\), \(y = - 1\)

D. \(y=9x+7\), \(y = - 2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400428

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) có dạng: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là tiếp điểm và \(\Delta \) là tiếp tuyến tại \(M\).

Với \({y_0} = - 2 \Leftrightarrow x_0^3 - 3x_0^2 + 2 = - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{x_0} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( { - 1; - 2} \right)\\{M_2}\left( {2; - 2} \right)\end{array} \right.\).

+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \({M_1}\) là \({k_1} = f'\left( { - 1} \right)\).

\(\begin{array}{l}f'\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2 - \left( { - 2} \right)}}{{x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {\left( {x - 2} \right)^2} = 9\end{array}\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({M_1}\left( { - 1; - 2} \right)\) có dạng: \(y = 9.\left( {x + 1} \right) - 2 \Leftrightarrow y = 9x+7\).

Kết luận: \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,y = x - 1\).

+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \({M_2}\) là \({k_2} = f'\left( 2 \right)\).

\(\begin{array}{l}f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2 - \left( { - 2} \right)}}{{x - 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\end{array}\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({M_2}\left( {2; - 2} \right)\) có dạng: \(y = 0.\left( {x + 1} \right) - 2 \Leftrightarrow y = - 2\).

Kết luận: \(\left( {{\Delta _2}} \right):\,\,y = - 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.