Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3

Câu hỏi số 400950:

Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng

A. \({30^0}\).

B. \({45^0}\).

C. \({60^0}\).

D. \({90^0}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400950

Phương pháp giải

- Chóp đều có chân đường vuông góc trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\). Vì \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\) nên \(OM\parallel AD \Rightarrow OM \bot CD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right)\) \( \Rightarrow CD \bot SM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SM \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset OM \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;OM} \right) = \angle SMO\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}OM = \dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{a}{2} = MC = MD\\SM = \sqrt {S{D^2} - M{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có: \( \Rightarrow {\rm{cos}}\angle SMO = \dfrac{{OM}}{{SM}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \angle SMO = {45^0}.\)

Vậy \(\angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = {45^0}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.