Cho \(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \). Tính giá trị của biểu

Câu hỏi số 401151:

Vận dụng

Cho \(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \). Tính giá trị của biểu thức \(P = x\left( {2 - x} \right)\)

A. \(P = - 2\).

B. \(P = 2\).

C. \(P = - 1\).

D. \(P = 0\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401151

Phương pháp giải

Bình phương biểu thức \(x\) và rút gọn.

Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\).

Xét dấu, phá trị tuyệt đối và rút gọn \(x\).

Thay giá trị \(x\) sau khi rút gọn để tính giá trị biểu thức \(P\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \,\,\,\left( {x > 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } + 3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } + 2.\sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } .\sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {9 - \left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)} \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\,\,\,\left( {Do\,\,\sqrt 3 - 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4 + 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt 3 + 1\,\,\left( {Do\,\,x > 0} \right)\end{array}\)

Thay \(x = \sqrt 3 + 1\) thì:

\(\begin{array}{l}P = x\left( {2 - x} \right) = 2x - {x^2}\\P = 2.\left( {\sqrt 3 + 1} \right) - \left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)\\P = 2\sqrt 3 + 2 - 4 - 2\sqrt 3 = - 2\end{array}\)

Vậy \(P = - 2\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link