Cho ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(ab + bc + ca = 2019\). Chứng minh \(\dfrac{{{a^2} - bc}}{{{a^2} +

Câu hỏi số 401152:

Vận dụng

Cho ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(ab + bc + ca = 2019\). Chứng minh \(\dfrac{{{a^2} - bc}}{{{a^2} + 2019}} + \dfrac{{{b^2} - ca}}{{{b^2} + 2019}} + \dfrac{{{c^2} - ab}}{{{c^2} + 2019}} = 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401152

Phương pháp giải

Sử dụng giả thiết \(ab + bc + ca = 2019\) đưa các mẫu về dạng tích.

Quy đồng vế trái sau đó rút gọn và suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Từ \(ab + bc + ca = 2019\) suy ra:

\(\begin{array}{l}{a^2} + 2019 = {a^2} + ab + bc + ca\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} + ab} \right) + \left( {bc + ca} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a\left( {a + b} \right) + c\left( {b + a} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\end{array}\)

Tương tự có:

\(\begin{array}{l}{b^2} + 2019 = \left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)\\{c^2} + 2019 = \left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{{{a^2} - bc}}{{{a^2} + 2019}} + \dfrac{{{b^2} - ca}}{{{b^2} + 2019}} + \dfrac{{{c^2} - ab}}{{{c^2} + 2019}}\\ = \dfrac{{{a^2} - bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \dfrac{{{b^2} - ca}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}} + \dfrac{{{c^2} - ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {b + c} \right) + \left( {{b^2} - ca} \right)\left( {c + a} \right) + \left( {{c^2} - ab} \right)\left( {a + b} \right)}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\\ = \dfrac{{{a^2}b + {a^2}c - {b^2}c - {c^2}b + {b^2}c + {b^2}a - {c^2}a - {a^2}c + {c^2}a + {c^2}b - {a^2}b - {b^2}a}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\\ = \dfrac{0}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} = 0\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link