Cho ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(ab + bc + ca = 2019\). Chứng minh \(\dfrac{{{a^2} - bc}}{{{a^2} +

Câu hỏi số 401152:

Vận dụng

Cho ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(ab + bc + ca = 2019\). Chứng minh \(\dfrac{{{a^2} - bc}}{{{a^2} + 2019}} + \dfrac{{{b^2} - ca}}{{{b^2} + 2019}} + \dfrac{{{c^2} - ab}}{{{c^2} + 2019}} = 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401152

Phương pháp giải

Sử dụng giả thiết \(ab + bc + ca = 2019\) đưa các mẫu về dạng tích.

Quy đồng vế trái sau đó rút gọn và suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Từ \(ab + bc + ca = 2019\) suy ra:

\(\begin{array}{l}{a^2} + 2019 = {a^2} + ab + bc + ca\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} + ab} \right) + \left( {bc + ca} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a\left( {a + b} \right) + c\left( {b + a} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\end{array}\)

Tương tự có:

\(\begin{array}{l}{b^2} + 2019 = \left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)\\{c^2} + 2019 = \left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{{{a^2} - bc}}{{{a^2} + 2019}} + \dfrac{{{b^2} - ca}}{{{b^2} + 2019}} + \dfrac{{{c^2} - ab}}{{{c^2} + 2019}}\\ = \dfrac{{{a^2} - bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \dfrac{{{b^2} - ca}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}} + \dfrac{{{c^2} - ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {b + c} \right) + \left( {{b^2} - ca} \right)\left( {c + a} \right) + \left( {{c^2} - ab} \right)\left( {a + b} \right)}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\\ = \dfrac{{{a^2}b + {a^2}c - {b^2}c - {c^2}b + {b^2}c + {b^2}a - {c^2}a - {a^2}c + {c^2}a + {c^2}b - {a^2}b - {b^2}a}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\\ = \dfrac{0}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} = 0\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link