Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn\(\left( {{a^4} + {b^4}} \right)\left( {{b^4} + {c^4}} \right)\left( {{c^4} +

Câu hỏi số 401156:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn\(\left( {{a^4} + {b^4}} \right)\left( {{b^4} + {c^4}} \right)\left( {{c^4} + {a^4}} \right) = 8\). Chứng minh rằng:

\(\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right)\left( {{c^2} - ca + {a^2}} \right) \ge 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401156

Phương pháp giải

Áp dụng các bất đẳng thức đã học.

Giải chi tiết

+ Ta chứng minh kết quả: \(2{\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)^2} \ge {a^4} + {b^4}\,(1)\)

Thật vậy

\(\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow 2\left( {{a^4} + {b^4} + {a^2}{b^2} + 2{a^2}{b^2} - 2ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \right) \ge {a^4} + {b^4}\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + {b^2} - 2ab} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^4} \ge 0\,\end{array}\)

(1) đúng và dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b.\)

+ Tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}(2):\,\,\,\,2{\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right)^2} \ge {b^4} + {c^4}\\(3):\,\,\,\,\,2{\left( {{c^2} - ca + {a^2}} \right)^2} \ge {c^4} + {a^4}\end{array}\)

+ Nhận thấy các vế của (1), (2), (3) đều không âm nên nhân theo vế của các bất đẳng thức này ta được:

\(8{\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)^2}{\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right)^2}{\left( {{c^2} - ca + {a^2}} \right)^2} \ge \left( {{a^4} + {b^4}} \right)\left( {{b^4} + {c^4}} \right)\left( {{c^4} + {a^4}} \right) = 8\)

Hay \(\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right)\left( {{c^2} - ca + {a^2}} \right) \ge 1\) (đpcm)

Với dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link