Cho tam giác nhọn \(ABC\) (với \(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Đường phân giác
Cho tam giác nhọn \(ABC\) (với \(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của \(\angle BAC\) cắt đường tròn \((O)\) lần lượt tại D và E (cùng khác A). Gọi G là hình chiếu vuông góc của E trên cạnh\(AC\), gọi \(M\) và \(N\) tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng \(BC\) và \(BA\). Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(GM\). \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(AB\) và đường thẳng \(MG\), \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\) và đường thẳng \(AE\).
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng \(AD\) và \(GM\) song song.
b) Chứng minh \(FH = MC\)
c) Chứng minh \(KE + KN \le \sqrt 2 .EN\)
Quảng cáo
a) Chứng minh \(DE\) là đường kính của \(\left( O \right)\).
Chứng minh bốn điểm \(D,\,\,M,\,\,O,\,\,E\) thẳng hàng.
Chứng minh tứ giác \(EGMC\) là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau, sử dụng định lí: Trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
b) Chứng minh \(G\) là trực tâm của tam giác \(MEF.\)
Chứng minh \(FMCG\) là hình bình hành. Từ đó suy ra \(FG = MC\).
Chứng minh đường thẳng \(AE\) là đường trung trực của đoạn \(HG\), từ đó suy ra \(FH = MC\).
c) Chứng minh tứ giác \(HNKE\) là tứ giác nội tiếp, từ đó chứng minh \(\angle NKE = {90^0}\).
Sử dụng định lí Pytago \(K{E^2} + K{N^2} = E{N^2}\).
Áp dụng đẳng thức \(2\left( {K{E^2} + K{N^2}} \right) = {\left( {KE + KN} \right)^2}\). Sau đó suy ra điều phải chứng minh.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng \(AD\) và \(GM\) song song.
+ Có \(AD,\,\,AE\) là các phân giác trong và phân giác ngoài của \(\angle BAC\) nên \(AD \bot AE.\)
\( \Rightarrow \angle DAE = {90^0}\), mà đây là góc nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), do đó \(ED\) chính là đường kính của đường tròn \(\left( O \right).\)
+ Lại có \(D\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(BC\) của \(\left( O \right)\) (do \(\angle BAD = \angle CAD\)) nên \(OD \bot BC = \left\{ M \right\}.\) (Đường kính đi qua điểm chính giữa của cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung đó).
\( \Rightarrow D,\,\,M,\,\,O,\,\,E\) thẳng hàng và \(DE \bot BC\).
+ Xét tứ giác \(EGMC\) có \(\angle EGC = \angle EMC = {90^0}\) nên \(EGMC\) là tứ giác nội tiếp (góc có 2 đỉnh cùng nhìn cạnh đối diện với góc bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle EMG = \angle ECG\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EG\)).
Lại có: \(\angle ECG = \angle EDA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE\) của \(\left( O \right)\))
\( \Rightarrow \angle EMG = \angle EDA\), mà hai góc này ở vị trí hai góc đồng vị bằng nhau nên \(GM\parallel AD\) (đpcm).
b) Chứng minh \(FH = MC\)
+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot AD\\GM\parallel AD\end{array} \right.\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow MG \bot AE\) hay \(MG \bot EF.\)
Lại có: \(EG \bot AC\) (gt), \(MF\parallel AC\) (tính chất đường trung bình) \( \Rightarrow EG \bot MF.\)
Suy ra \(G\) là trực tâm của tam giác \(MEF\) \( \Rightarrow FG \bot ME\) hay \(FG \bot DE\).
Mà \(DE \bot BC \Rightarrow DE \bot MC\) nên \(FG\parallel MC\).
+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}FG\parallel MC\\FM\parallel GC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \)\(FMCG\) là hình bình hành (dhnb).
\( \Rightarrow FG = MC\) (Hai cạnh đối diện của hình bình hành) (1).
+ Vì \(AE\) là phân giác của \(\angle HAG\) (gt) và \(HG \bot AE\) (do \(HG \equiv MG\parallel AD \bot AE\)).
\( \Rightarrow \Delta AHG\) cân tại \(H\) \( \Rightarrow \) Đường thẳng \(AE\) là đường trung trực của đoạn \(HG\) (trong tam giác cân, đường phân giác đồng thời là đường trung trực).
Mà \(H\) thuộc trung trực của \(HG\) nên \(FH = FG\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(FH = MC\) (đpcm).
c) Chứng minh \(KE + KN \le \sqrt 2 .EN\)
+ Ta có: Tứ giác \(ABCE,\,\,EGMC\) là các tứ giác nội tiếp.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle EAB + \angle BCE = {180^0}\\\,\,\,\,\,\,\angle EGM + \angle MCE = {180^0} \Leftrightarrow \angle EGM + \angle BCE = {180^0}\end{array}\) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
\( \Rightarrow \angle EAB = \angle EGM\).
Lại có: \(\angle EBA = \angle GME\,\,\,\left( { = \angle ECA} \right)\).
\( \Rightarrow \Delta EAB \sim \Delta EGM\,\,\,\,\left( {g.g} \right)\).
+ Ta có \(N,\,\,K\) lần lượt là trung điểm hai cạnh tương ứng \(AB,\,\,GM\,\,\,\left( {gt} \right).\)
Mà \(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{GE}}{{GM}}\) (do \(\Delta EAB \sim \Delta EGM\)) \( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AN}} = \dfrac{{GE}}{{GK}}\).
\(\angle EAN = \angle EGK\) (do \(\Delta EAB \sim \Delta EGM\)).
\( \Rightarrow \Delta AEN \sim \Delta EGK\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \angle EKG = \angle ENA\) (hai góc tương ứng).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(EKNH\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc cùng chắn 1 cung bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle NHE + \angle NKE = {180^0}\) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).
+ Lại có \(\angle AHE = \angle AGE = {90^0}\) \( \Rightarrow \angle NHE = \angle AGE = {90^0}\) (do \(H,\,\,G\) đối xứng nhau qua \(AE\)).
\( \Rightarrow \)\(\angle NKE = {180^0} - {90^0} = {90^0}.\)
\( \Rightarrow \Delta NKE\) là tam giác vuông \( \Rightarrow N{E^2} = K{E^2} + K{N^2}\) (Định lí Pytago).
Ta có: \(K{E^2} + K{N^2} \ge 2KE.KN \Leftrightarrow 2\left( {K{E^2} + K{N^2}} \right) \ge K{E^2} + K{N^2} + 2KE.KN\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left( {K{E^2} + K{N^2}} \right) \ge {\left( {KE + KN} \right)^2} \Leftrightarrow 2N{E^2} \ge {\left( {KE + KN} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 NE \ge KE + KN\,\,\,hay\,\,KE + KN \le \sqrt 2 EN\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
